Задание к курсовой работе 1-й закон Кирхгофа

Расчет электрических цепей в курсовых по электротехнике

Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

3.3.1 Метод узловых и контурных уравнений

Составляем из заданных электроприёмников цепь с двумя узлами, как это показано на рисунке 3.3. Комплексная схема замещения такой цепи показана на рисунке 3.4.

 Сущность метода состоит в составлении системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. Расчёт производим в следующем порядке.

По первому закону составляем (n – 1) независимых уравнений, где n – количество узлов в схеме. Выбираем узел А.. По второму закону нам остаётся составить два уравнения, так как число уравнений в системе должно быть равно количеству неизвестных токов, а их три. Направления токов в ветвях выбираются произвольно. Направления обхода контуров принимаем (услов- но) по часовой стрелке. Таким образом, система уравнений в комплексной

форме включает в себя одно уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа и два уравнения, составленные по второму закону:

 I1 + I2 – I3 = 0;

 I1Z1 – I2Z2 = E1 – E2;

 I2Z2 + I3Z3 = E2.

 Рис. 3.3 Рис. 3.4

Подставляем заданные комплексы известных величин:

I1 + I2 – I3 = 0 (1);

I1 * (2 – j3) – I2 * (14 – j12) = 100 – 65 (2);

 I2 * (14 – j12) + I3 * j18 = 65 (3).

Данную систему легче решить с помощью простых подстановок: из (2) определяем I1, из (3) определяем I3:

I1 + I2 – I3 = 0;

I1 = (35+I2*(14-j12))/(2-j3) = 5,38 + j8,08+I2*(4,92+j1,38) (4); 

I3 = (65-I2*(14-j12))/j18 = –j3.61 – I2*(–0,667 – j0,778) (5).

Подставляем (4) и (5) в (1) и получим:

5,38 + j8,08 + I2*(4,92 + j1,38) + I2 + j3,61 + I2* (0,667 – j0,778) = 0;

5,38 + j8,08 + j3,61 = I2 * (–4,92 – j1,38 – 1 + 0,667 + j0,0778);

5,38 +j11,68 = I2 * (–5,253 – j0,602), отсюда

I2 =(5.38+j11.68)/(-5.253-j0.602) = –1,26 – j2,08 = 2,438e-j121,21 A;

I1 = 5,38 + j8,08 + (–1,26 – j2,08) * (4,92 + j1,38) = 2,05 – j3,89 = =4,4 *  A.

 I3 = –3,61 – (–1,26 – j2,08)*(–0,667 – j0,778) = 0,778 – j5,97 =

=6.02 *  A.

Составляем уравнение баланса мощностей в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:

SE1 = E1*= 100 * (2,05 + j3,89) = 205 + j389 = 440 * *В*A.;

SE2 = E2*= 65 * (–1,26 + j2,08) = –81,9 + j135 = 158 *B*A.

Определяем комплексные мощности приёмников электрической энергии:

 S1 = I12 * Z1 = 4,42 * (2 – j3) = 38,7 – j58,1 B*A;

 S2 = I22 * Z2 = 2,432 * (14 – j12) = 82,7 – j70,8 B*A;

 S3 = I32 * Z3 = 6,022 * (j18) = j652 B*A.

Уравнение баланса комплексных мощностей!

SЕ1 + SE2 = S1 + S2 + S3;

205 + j389 – 81,9 + j135 = 38,7 – j58,1 + 82,7 – j70,8 + j652;

 123,1 + j524 = 121,4 + j523, или

 538,3 *  = 536,9 * .

 Относительная погрешность в балансе полных мощностей составит:

YS = (538.3-536.9) * 100%/538.3 = 0,28% < 2%.

Угловая погрешность также незначительна.

Рисунок 3.5

 Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов MI = 1 А/см  и э.д.с. ME = 10 В/см.

Векторная диаграмма в комплексной плоскости построена на рисунке 3.5.

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной nbsp; 

тригонометрической nbsp; nbsp; или

алгебраической nbsp; nbsp;  - формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

.

Фазовый угол  определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

 .

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

,

(4)

 

Комплексное число  удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

,

(5)

 

Параметр , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр  - комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

 Намечаем в независимых контурах заданной цепи, как показано на рисунке 3.4, контурные токи IK1 и IK2 – некоторые расчётные комплексные величины, которые одинаковы для всех ветвей выбранных контуров. Направления контурных токов принимаются произвольно. Для определения контурных токов составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

 IK1 * (Z1 + Z2) – IK2Z2 = E1 – E2;

 -IK1 * Z2 + IK2 * (Z2 + Z3) = E2.

 Подставляем данные в систему:

IK1 * (2 – j3 + 14 – j12) – IK2 * (14 – j12) = 100 – 65;

 -IK1 * (14 – j12) + IK2 * (14 – j12 + j18) = 65.

IK1 * (16 – j15) – IK2 * (14 – j12) = 35;

  -IK1 * (14 – j12) + IK2 * (14 + j6) = 65.

 Решаем систему с помощью определителей. Определитель системы:

Метод упрощения схем

 Для того чтобы показать, как рассчитывать цепь методом упрощения схем, предположим, что в источнике с э.д.с. E1 произошло короткое замыкание между зажимами, то есть E1 = 0. Электрическая схема цепи и комплексная схема замещения представлены на рисунках 3.6 и 3.7.

  Определяем эквивалентные сопротивления участков и всей цепи. Сопротивления Z1 и Z3 соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление

Z1 3 =  =  = 2,83 – j3,22 Ом


Выбор типа выпрямителя