.
Задание к курсовой работе 1-й закон Кирхгофа

Расчет электрических цепей в курсовых по электротехнике

Расчёт трёхфазной цепи при соединении приемника в звезду

При расчёте несимметричной трехфазной цепи с потребителем, соединённым в звезду, схема может быть без нулевого провода или с нулевым проводом, который имеет комплексное сопротивление ZN. В обоих случаях система линейных и фазных напряжений генератора симметричны. Система линейных напряжений нагрузки останется также симметричной, так как линейные провода не обладают сопротивлением. Но система фазных напряжений нагрузки несимметрична из-за наличия напряжения смещения нейтрали UN. Трехфазная цепь при соединении приёмника в звезду представляет собой цепь с двумя узлами, расчёт подобных цепей наиболее целесообразно вести методом узлового напряжения.

4.1. Расчет трехфазной цепи с нулевым проводом

Схема заданной цепи изображена на рисунке 4.1. Определяем систему фазных напряжений генератора. Фазное напряжение:

UФ = Uл/ = 127 В.

Комплексные фазные напряжения генератора:

 UA = UФ = 127 B;

 UB = UA * = 127 * = –63,5 – j110 B;

 UC = UA * = 127 * = –63,5 + j110 B.

Определяем полные проводимости фаз приёмника:

 YA =  = 0,154 + j0,231 Cм;

 YB =  = 0,0412 + j0,0352 Cм;

 YC =  = –j0,0558 Cм; YN== j0.1 См.

Узловым напряжением является в данном случае напряжение смещения нейтрали, которое определяется по формуле:

UN=  =99.2-j24.5=102 *  B.

 Определяем фазные напряжения на нагрузке:

Рис 4.1

UA/ = UA – UN = 127 – (99.2-j24.5) = 27.8+j24.5=37.1 * B;

UB/ = UB – UN = (–63,5 – j110) – (99.2-j24.5) = -162.7-j85.5= =184 *B;

 UC/ = UC – UN = (–63,5 + j110) – (99.2-j24.5) = -162.7+j134.5 =

=211 * B.

 

Определяем токи в фазах нагрузки:

IA = UA/ * YA = (27.8+j24.5) * (0.154+j0.231) = -1.38+j10.2=10.3 * *A;

 IB = UB/ * YB = (-162.7-j85.5) * (0,0412 + j0,0352) = -3.69-j9.25=

=9.96 * A;

IC = UC/ * YC = (-162.7+j134.5) * (–j0,0556) = 7.48+j9.05=11.7 * *A;

 IN = UN * YN = (99.2-j24.5)*j0.1 = 2.45+j9.92 = 10.2 * A.

 Проверяем правильность определения токов по первому закону Кирхгофа для точки N’:

IA + IB + IC = IN;

Рис. 4.2

-1.38+j10.2-3.69-j9.25+7.48+j9.05=2.45+j9.92;

2.41+j10 @ 2.45+j9.92.

 Определяем комплексные мощности фаз и всей цепи:

SA = IA2 * Z1 = 10.22 * (2 – j3) = 212-j318=383 * B*A;

SB = IB2 * Z2 = 9.962 * (14 – j12) =1389-j1190=1829 * B*A;

 SC = IC2 * Z3 = 11.72 * (j18) = j2464=2464 * B*A;

S= SA + SB + SC = 212-J318+1389-j1190+j2464=1601+j956=

=1865 *B*A.

 Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов MI = 2 А/см и напряжений MU = 25 В/см. Векторная диаграмма на комплексной плоскости построена на рисунке 4.2.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока &записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

5. На рис. 5 , а . Определить .

Ответ:

Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в звезду без нулевого провода.

Если задана трехфазная цепь без нулевого провода, то формула для определения напряжения смещения нейтрали не должна включать проводимость нулевого провода:

 UN =

  Далее фазные напряжения и токи нагрузки определяются аналогично предыдущему примеру,  затем делается проверка:

 IA + IB + IC = 0

Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в треугольник

Расчёт неразветвлённой цепи с несинусоидальными  напряжениями и токами

 Составляем схему заданной цепи, подключая последовательно соединённые приёмники к источнику напряжения

u = 220 Sin (ωt + 150) + 80 Sin (3ωt – 250) + 30 Sin 5ωt = u1 + u3 + u5,

который на схеме замещения представляем как последовательно соединённые три источника переменного напряжения u1, u2 и u3 с разными частотами (рисунок 6.1) Величины сопротивлений заданы для частоты первой гармоники: R1 = 2 Ом, XC11 = 3 Ом, R2 = 14 Ом, XC21 = 12 Ом, XL31 = 18 Ом. Поскольку напряжения источников имеют разные частоты, то и реактивные сопротивления для них будут иметь разные величины. Активные сопротивления считаем от частоты не зависящими. Поэтому расчёт ведём методом наложения, то есть отдельно для каждой гармоники.

Переходные процессы и основы синтеза линейных радиотехнических цепей

Переходные процессы в линейных цепях

Современные радиотехнические системы часто включают в себя комплекс достаточно сложных электрических цепей, среди которых разнообразные линейные цепи.

В зависимости от характера воздействующих э.д.с. и назначения линейных цепей в них могут протекать самые различные процессы. Поэтому необходимо иметь ясное представление о таких процессах и уметь рассчитывать их для определенной цепи при заданном воздействии. Это относится к задачам анализа процессов в цепях. Среди них все больший интерес вызывают задачи, связанные с процессами в различных импульсных системах.

В этих задачах кроме анализа установившихся или стационарных процессов важное значение имеет анализ переходных процессов, возникающих при включении или выключении э.д.с. и при воздействии импульсных сигналов.

Анализ переходных процессов методом решения линейных дифференциальных уравнений

Метод решения линейных дифференциальных уравнений, или так называемый классический метод, основан на отыскании решения вида (0.2) для уравнения (0.l).

Так, при подключении э.д.с, e(t) к последовательно соединенным индуктивности L , емкости С и активному сопротивлению R, на основании второго закона Кирхгофа получаем уравнение

которое приводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка

Включение цепи R, C на постоянное напряжение

 

 

Пусть в момент t=0 цепь, состоящая из последовательно соединенных активного сопротивления R и не заряженной емкости C, подключается к источнику постоянного напряжения E (рис.1.1). Наличие переходного процесса в данной цепи связано с тем, что при весьма кратковременном ("мгновенном") изменении внешнего воздействия энергия поля конденсатора не может измениться мгновенно. Действительно, при скачкообразном изменении запаса энергии в цепи мощность, потребляемая цепью, принимала бы бесконечно большое значение, что не имеет физического смысла. Энергия электрического поля емкости

Постоянная A определяется из начальных условий для данной цепи, заключающихся в том, что при t=0, = 0, так как в момент включения цепи напряжение на конденсаторе скачком измениться не может в силу непрерывного характера изменения энергии электрического поля конденсатора. Таким образом, при t=0 из (l.6) имеем 0=A+E т.е. A=-E и

Напряжение на конденсаторе в процессе его заряда возрастает no экспоненциальному закону, приближаясь к величине E тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи . Теоретически  при . Однако на практики вводят понятие времени установления стационарного процесса , определяемое из условия, что за это время напряжение на емкости достигает величины 0,95 E, т.е.

Разряд конденсатора на активное сопротивление

Если конденсатор , предварительно заряженный до напряжения  замкнуть в момент  на сопротивление  (рис.1.3), то будет происходить его разряд. В данном случае внешнего воздействия нет и следует рассматривать лишь свободный процесс в цепи, т.е. уравнение (l.4) будет

,

решением которого является выражение

.

Для определения константы интегрирования  воспользуемся начальным условием задачи: при  .Поэтому  и тогда решение принимает вид

Включение цепи R, L на постоянное напряжение

Рассматриваемая цепь приведена на рис.1.5.Так как энергия магнитного поля катушки индуктивности равна

,

и она не может изменяться скачком при мгновенном изменении внешнего воздействия, то отсюда заключаем, что в цепи R, L ток скачком изменяться не может. Требуется конечное время переходного процесса, пока ток в цепи не достигнет стационарного значения. Рассмотрим этот процесс. Уравнение Кирхгофа для такой цепи

Разряд конденсатора в цепи .

 

 

Пусть предварительно заряженный до напряжения  конденсатор емкостью  в исходный момент времени замыкается на последовательно соединенные активное сопротивление и катушку индуктивности  (рис.1.7). Рассматриваемая цепь содержит, в отличие от предыдущих примеров, два энергоемких параметра - емкость и индуктивность. Поэтому составленное на основании второго закона Кирхгофа уравнение приводится к дифференциальному уравнению второго порядка.

Действительно, имеем для суммы напряжений на элементах цепи

,  (1.15)

или, так как

,

уравнение приводится к виду

Согласно выражению (l.21) на рис.1.8 построен график тока , а также приведен график напряжения на емкости . В рассматриваемом случае характер процесса в цепи носит название апериодического разряда конденсатора. Граничным случаем апериодического процесса является случай, когда . T.e. . Величина тока для этого случая находится, если раскрыть неопределенность, получающуюся в выражении (1.19). Закон изменения тока во времени здесь таков:

.

Как видно из рис.1.8, при апериодическом разряде емкости ток в цепи вначале равен нулю, что объясняется противодействием э.д.с, самоиндукции катушки. Затем по мере убывания этой э.д.с. ток по абсолютной величине растет. Однако в процессе разряда емкости напряжение  убывает, и ток с некоторого момента также начинает убывать.

Воздействие постоянного напряжения на L,C,R цепь

Пусть постоянное напряжение  подключается в момент  к последовательному  контуру (рис.1.11).Уравнение Кирхгофа для рассматриваемой цепи имеет вид

 

,  (1.27)

и его общее решение , где  - вынужденный ток, в данном случае равный нулю, так как переходный процесс заканчивается, как только конденсатор зарядится до напряжения , а ток заряда прекратится. Ток - свободный ток, являющийся решением однородного уравнения

,

Воздействие гармонической э.д.с, на колебательный контур

В начальный момент  к последовательному  контуру подключается гармоническая э.д.с. Дифференциальное уравнение для данной цепи, составленное на основании уравнения Кирхгофа, имеет вид:

, (1.35)

а его решение . Здесь  - ток свободных колебаний, а  - вынужденный ток.

Аналогичное уравнение записывается для напряжения на емкости

, (1.36)

решение которого .Здесь  - напряжение на емкости, соответствующее свободным колебаниям в контуре. Выражение для этого напряжения можно записать, пользуясь полученным ранее выражением (l.23) при рассмотрении свободных колебаний в контуре. Запишем выражение для напряжения  в виде

.

Величина амплитуды установившегося колебания зависит от добротности контура. Процесс установления колебаний заключается в постепенном заряде емкости и накоплении энергии в ней. Так как частота э.д.с.  и собственная частота контура   равны, то при смене знака э.д.с. ток в контуре также меняет направление, что приводит к увеличению заряда на емкости. Напряжение на емкости растет до того момента времени, пока энергия потерь в активном сопротивлении , возрастая с ростом тока в контуре, не сравняется с энергией, поступающей в контур за счет источника э.д.с.

Процесс установления колебаний практически считается законченным, когда амплитуда напряжения на емкости (или ток в контуре) достигает 95% своего стационарного значения, т.е. можно записать

,

или время установления

Теоретическая база метода: 1-й и 2-й законы Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей в узле схемы равна нулю ().

2-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в произвольном контуре схемы равна алгебраической сумме ЭДС ().

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме (рис. 16) и определить токи в ветвях, напряжения на отдельных элементах, мощности источников и приемников энергии. Задана схема цепи и параметры ее отдельных элементов (E1, E2, J1, J1, J2, R1, R2, R3, R4, R5).

Метод контурных токов

Теоретическая база метода контурных токов – 2-ой закон Кирхгофа в сочетании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток Ik, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их алгебраические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определению, в данном методе выступают контурные токи. Общее число неизвестных составляет m-(n-1).

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 11. Параметры отдельных элементов схемы заданы.

Последовательность (алгоритм) расчета.

Метод узловых потенциалов

Теоретическая база метода узловых потенциалов – 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы принимают равным нулю, а потенциалы остальных (n-1) узлов считают неизвестными, подлежащими определению. Общее число неизвестных составляет (n-1).

Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).

 

Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения напряжений на отдельных участках:

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю, а потенциалы остальных (n-1) узла считают неизвестными, подлежащими определению.

2) Руководствуясь обобщенной формой, составляют (n-1) уравнение для узлов с неизвестными потенциалами.

3) Определяются коэффициенты узловых уравнений и составляются их матрицы.

4) Система узловых уравнений решается на ЭВМ по стандартной программе для решения систем линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами (SU1), в результате чего определяются неизвестные потенциалы узлов j1,  j2, …

5) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы I1, I2 , I3, I4, I5. Токи ветвей определяются из потенциальных уравнений ветвей через потенциалы узлов j1,  j2, ….

Теорема о взаимности

Выделим из сложной схемы две произвольные ветви “m” и “n”, в одной из которых включен источник ЭДС E (в ветви m). Теорема о взаимности гласит, что если источник ЭДС E, включенный в ветви “m”, вызывает в ветви “n” частичный ток I , то такой же источник ЭДС E, включенный в ветвь “n”, вызовет в ветви “m” такой же частичный ток I (рис.23) .

 

Доказательство теоремы о взаимности вытекает из принципа наложения. Частичные токи равны:

Теорема о линейных отношениях

Формулировка теоремы: если в произвольной к-ой ветви сложной схемы изменяется ЭДС источника Ek или сопротивление резистора Rk, то параметры режима в двух других ветвях (например, 1 и 2, I1 и I2, U1 и U2, U1 и I2, I1 и U2 ) изменяются так, что между ними сохраняется линейная зависимость (и т.д.).

Пусть изменяется ЭДС Eк. В соответствии с принципом наложения ток каждой ветви равен сумме частичных токов от каждого источника в отдельности:

Исключим из уравнений переменную величину Eк путем подстановки:

, что требовалось доказать.

Если в схеме изменяется сопротивление резистора , то для доказательства теоремы о линейных отношениях переменный резистор  следует заменить в соответствии с теоремой о компенсации переменной ЭДС  и повторить доказательство.


Выбор типа выпрямителя