дХОКНЛМШЕ ПЮАНРШ, ЙСПЯНБШЕ ОПНЕЙРШ МЮ ГЮЙЮГ, ЙНМРПНКЭМШЕ ПЮАНРШ МЮ ГЮЙЮГ

 

мЮВЕПРЮРЕКЭМЮЪ ЦЕНЛЕРПХЪ оПЮЙРХЙСЛ ОН ПЕЬЕМХЧ ГЮДЮВ цЕНЛЕРПХВЕЯЙНЕ ВЕПВЕМХЕ хМФЕМЕПМЮЪ ЦПЮТХЙЮ еяйд йПЮРМШЕ ХМРЕЦПЮКШ лЮРЕЛЮРХВЕЯЙХИ ЮМЮКХГ лЮРПХЖШ оПЕДЕКШ оПНХГБНДМШЕ бЕЙРНПМЮЪ ЮКЦЕАПЮ хМРЕЦПЮКЭМНЕ ХЯВХЯКЕМХЕ ртйо ъДЕПМЮЪ ТХГХЙЮ щКЕЙРПНЯРЮРХЙЮ лЮЦМЕРХГЛ нОРХЙЮ хМТНПЛЮЖХНММШЕ РЕУМНКНЦХХ

Предыдущий разделУровень вышеСледующий раздел

Матричные вычисления

Maxima позволяет легко манипулировать матрицами. В следующем примере задаются две матрицы, которые затем складываются (+) и перемножаются (.): 

 (C1) A:matrix([1,2],[3,4]); [ 1 2 ] (D1) [ ] [ 
3 4 ] (C2) B:matrix([1,1],[1,1]); [ 1 1 ] (D2) [ ] [ 1 1 ] (C3) A + B; [ 2 3 ] 
(D3) [ ] [ 4 5 ] (C4) A . B; [ 3 3 ] (D4) [ ] [ 7 7 ]
Функция determinant вычисляет определитель матрицы. 
 (C5) determinant(A); (D5) - 2 (C6) determinant(matrix([a,b],[c,d])); 
(D6) a d - b c

Транспонирование матрицы осуществляется функцией transpose. 

 (C7) transpose(A); [ 1 3 ] (D7) [ ] [ 2 4 ]
Для получению обратной матрицы используется операция ^^-1 или функция invert. 
 (C8) A^^-1; [ - 2 1 ] [ ] (D8) [ 3 1 ] [ - - - ] [ 2 2 ] (C9) invert(A); 
[ - 2 1 ] [ ] (D9) [ 3 1 ] [ - - - ] [ 2 2 ]
Как известно, каждый элемент bij обратной матрицы B = A -1 получается делением алгебраического дополнения Aij соответствующего элемента исходной матрицы на ее определитель |A|. Для того чтобы вынести 1/|A| в качестве сомножителя применяется функция detout. 
 (C10) invert(A), detout; [ 4 - 2 ] [ ] [ - 3 1 ] (D10) - ------------ 2
Убедимся в правильности полученного результата, умножив A на обратную к ней матрицу: 
 (C11) A . d9; [ 1 0 ] (D11) [ ] [ 0 1 ]
Будьте внимательны: в результате выполнения операции ^-1 получится матрица, каждый элемент которой обратен элементу исходной, а не обратная матрица. 
 (C12) A^-1; [	
1 ] [ 1 - ] [ 2 ] (D12) [ ] [ 1 1 ] [ - - ] [ 3 4 ]

Использование матриц позволяет легко решать системы линейных уравнений с несколькими переменными. Пусть A - матрица коэффициентов системы, X - матрица неизвестных, B - матрица свободных членов системы. Тогда матрица X находится по формуле X = A -1 . B, где операция . означает матричное умножение.


Пример
Решим следующую систему уравнений матричным способом.

Сначала заполним соответствующие матрицы, а затем получим матрицу результатов: 
 (C14) 
A:matrix([1, 2, 1], [2, 1, 1], [1, 3, 1]); [ 1 2 1 ] [ ] (D14) [ 2 1 1 ] [ ] [ 
1 3 1 ] (C15) B:matrix([0, 1, 0]); (D15) [ 0 1 0 ] (C16) (A^^-1).B; [ 1 ] [ ] 
(D16) [ 0 ] [ ] [ - 1 ]


Задания

  1. Вычислите произведение матриц A.B и B.A, где
  2. Найдите определители матриц C и D.
  3. Для матрицы D найдите обратную, после чего проверьте, что в результате их произведения получается единичная матрица.
  4. Решите следующую систему уравнений матричным способом

Предыдущий разделУровень вышеСледующий раздел