Начертательная геометрия Практикум решения задач Конспект по начертательной геометрии Единая система конструкторской документации Инженерная графика Геометрическое черчение Кратные интегралы Математический анализ

Лекция №5-3

 

Следы плоскости

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостями проекций. В зависимости от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой( как для построения любой прямой). На рисунке 5.12 показано нахождение следов плоскости  α(АВС). Фронтальный след плоскости αП2, построен, как прямая соединяющая две точки N(АС) и N(АВ), являющиеся фронтальными следами соответствующих прямых, принадлежащих плоскости α. Горизонтальный след αП1 – прямая, проходящая через горизонтальные следы прямых ВС и АВ. Профильный след αП3 – прямая соединяющая точки (αy и αz) пересечения горизонтального и фронтального следов с осями

Построение эпюра из модели а) модель Решение задачи на эпюре б) эпюр

Рисунок 5.12. Построение следов плоскости

  Взаимное расположение прямой и плоскости

Определение взаимного положения прямой и плоскости - позиционная задача, для  решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Сущность метода заключается  в следующем: через прямую проведем вспомогательную секущую плоскость g и установим относительное положение двух прямых а и в, последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости  g и данной  плоскости a(рис.5.13).

Каждому из трех возможных случаев относительного расположения этих прямых соответствует аналогичный случай взаимного расположения прямой и плоскости. Так, если обе прямые совпадают, то прямая а лежит в плоскости a, параллельность прямых укажет на параллельность прямой и плоскости и, наконец, пересечение прямых соответствует случаю когда прямая а пересекает плоскость a.

Таким образом возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости:

  • Прямая принадлежит плоскости;

  • Прямая параллельна плоскости;

  • Прямая пересекает плоскость, частный случай – прямая перпендикулярна плоскости.

Рассмотрим каждый случай.

Решение задачи в пространстве Рисунок 5.13. Метод вспомогательных секущих плоскостей
 

Прямая линия, принадлежащая плоскости

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат той же плоскости (рис.5.14).

Задача. Дана плоскость (n,k) и одна проекция прямой m2.

Требуется найти недостающие проекции прямой m если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k.

Проекция прямой m2 пересекает прямые n и k в точках В2 и С2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек лежащих на прямых соответственно n и k.

Таким образом точки В и С принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости.
Построение эпюра из модели а) модель Решение задачи на эпюре б) эпюр
Рисунок 5.14. Прямая и плоскость имеют две общие точки

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости (рис.5.15).

Задача.

Через точку В провести прямую m если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k.

Пусть В принадлежит прямой n лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию  В2 проведем проекцию прямой m2 параллельно прямой k2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В1,  как точки лежащей на проекции прямой n1 и через неё провести проекцию прямой m1  параллельно проекции k1.

Таким образом точки В принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости.
Построение эпюра из модели а) модель Решение задачи на эпюре б) эпюр
Рисунок 5.15. Прямая имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой расположенной в этой плоскости

 

Главные линии в плоскости

Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое место занимают прямые, занимающие частное положение в пространстве:

1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (hÎАВС, h//P1, h2//Ох,h3//Оy)(рис.5.16). 

Построение эпюра из модели а) модель Построение горизонтали на эпюре б) эпюр

Рисунок 5.16. Горизонталь

 

2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные  фронтальной плоскости проекций (fÎАВС, f//P2, f1//Ох, f3//Оz)(рис.5.17).

Построение эпюра из модели а) модель Построение фронтали на эпюре б) эпюр

Рисунок 5.17. Фронталь

 

3. Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций ÎАВС, р//P3, р1^Ох, р2^Ох) (рис.5.18).

Построение эпюра из модели а) модель Построение профильной прямой на эпюре б) эпюр

Рисунок 5.18. Профильная прямая

 

Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след -  это горизонталь плоскости, фронтальный  - фронталь и профильный - профильная линия плоскости.

4. Линия наибольшего ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j , которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис.5.19).

Построение эпюра из модели а) модель Построение линии наибольшего ската на эпюре б) эпюр
Рисунок 5.19. Линия наибольшего ската

Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее. 

 

Начертательная геометрия курс лекций