Начертательная геометрия Практикум решения задач Конспект по начертательной геометрии Единая система конструкторской документации Инженерная графика Геометрическое черчение Кратные интегралы Математический анализ

 

 

Прямая линия, параллельная плоскости

При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскостии не принадлежит этой плоскости.

Задача. Дано: проекции плоскости общего положения ABC и прямой общего положения а.

Требуется оценить их взаимное положение (рис.5.20). 

Построение эпюра из модели а) модель Решение задачи на эпюре б) эпюр
Рисунок 5.20. Прямая параллельная плоскости

Для этого через прямую а проведем вспомогательную секущую плоскость g - в данном случае горизонтально проецирующая плоскость. Найдем линию пересечения плоскостей  g и АВС- прямую п (DF). Проекция прямой п на горизонтальную плоскость проекций совпадает с проекцией а1 и со следом плоскости g. Проекция прямой п2  параллельна а2, п3  параллельна а3, следовательно, прямая а параллельна плоскости AВС.

 

 

Прямая линия, пересекающая плоскость

Нахождение точки пересечения прямой линии и плоскости – основная задача начертательной геометрии.

Задача. Дано: плоскость AВС и прямая а.

Требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость прямой по отношению к плоскости.

Для решения задачи:

  1. Через горизонтальную проекцию прямой а1 проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость g (таким образом а Î g).

  2. Горизонтальный след плоскости g1 пересекает проекцию плоскости A1В1С1 в точках D1 и F1, которые определяют положение горизонтальной проекции п1- линии пересечения плоскостей g и AВС. Для нахождения фронтальной  и профильной проекции п спроецируем точки D и F на фронтальную  и профильную плоскости проекций.

  3. На фронтальной и профильной проекциях линия пересечения плоскостей п пересекает  проекции а в точке К, которая и является  проекцией точки пересечения прямой а с плоскостью AВС, по линии связи находим горизонтальную проекцию К1.

  4. Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой а по отношению к плоскости AВС.

Построение эпюра из модели а) модель Решение задачи на эпюре б) эпюр
Рисунок 5.21. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

Таким образом алгоритм решения задачи состоит из следующей последовательности действий (рис.5.21):

1. Построение вспомогательной секущей плоскости g ( горизонтально – проецирующая плоскость ), которую проводят через прямую а (аÎg);

2. Построение линии пересечения вспомогательной плоскости g и заданной плоскости a (п=aÇg);

3. Определение искомой точки К, как точки пересечения двух прямых, заданной - а и полученной в результате пересечения плоскостей – п (К=а Ç п). В качестве вспомогательной плоскости g рекомендуется брать одну из проецирующих плоскостей.

4. Определение видимости прямой а относительно плоскости a.

 

Прямая линия перпендикулярная плоскости.

Докажем следующую теорему о перпендикуляре к плоскости: Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Пусть прямая n, перпендикулярная плоскости, пересекает плоскость BCD в точке N, тогда по условию n перпендикулярна любой прямой плоскости. Проведем в плоскости BCD горизонталь h, а на основании теоремы о проецировании прямого угла можно утверждать, что на горизонтальную плоскость проекций они проецируются под прямым углом, т.е. n1 ^h1. Аналогично для фронтали – f ^ n Þ f2 ^ n2.

Справедлива и обратная теорема: Если проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих главных линий плоскости (горизонтали и фронтали), то такая прямая перпендикулярна плоскости.

Доказательство следует из теоремы  о проецировании прямого угла.

Исходя из рассмотренных теорем, можно решить задачу о построении перпендикуляра к плоскости из точки А (рис.5.22).

Задача. Дано: плоскость ВСD и точка А.

Требуется построить прямую линию n проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости ВСD.

В плоскости ВСD построим фронталь f и горизонталь h. В горизонтальной плоскости проекций проведем через точку А1 прямую n1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1, а на фронтальной плоскости проекций через точку А2 прямую n2 перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f2, согласно выше сказанному полученная прямая n будет перпендикулярна плоскости ВСD.

Построение эпюра из модели а) модель Решение задачи на эпюре б) эпюр
Рисунок 5.22. Построение прямой, перпендикулярной плоскости

 

Взаимное расположение точки и плоскости

Возможны два варианта взаимного  расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет.

Если точка принадлежит плоскости то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну.

Рассмотрим пример (рис.5.23): Построение проекции точки А принадлежащей плоскости общего положения заданной двумя параллельными прямыми a(a//b).

Задача. Дано: плоскость a(а,в) и  проекция точки А2.

Требуется построить проекцию А1 если известно, что точка А лежит в плоскости в,а.

 Через точку А2 проведем проекцию прямой m2, пересекающую проекции прямых a2 и b2  в точках  С2 и В2 (СÎa, BÎa Þ mÎa). Построив проекции точек С1 и В1, определяющие положение m1, находим горизонтальную проекцию точки А (А1Î m1, mÎa Þ АÎa).

 

Построение эпюра из модели а) модель Решение задачи на эпюре б) эпюр
Рисунок 5.23. Точка, принадлежащая плоскости

 

Через точку А2 проведем проекцию прямой m2, пересекающую проекции прямых a2 и b2  в точках  С2 и В2 (СÎa,BÎaÞmÎa). Построив проекции точек С1 и В1, определяющие положение m1, находим горизонтальную проекцию точки А (А1Î m1, m ÎaÞ АÎa).

 

Начертательная геометрия курс лекций