9.4. Теорема Гаусса

9.4.1. Поток вектора напряжeнности электрического поля

9.4.1.1. - Поток вектора для однородного поля

Для

9.4.1.2. Поток вектора через бесконечно малую площадку в неоднородном поле

Как и в (9.4.1.1):

9.4.1.3. Поток вектора через произвольную поверхность в неоднородном поле

9.4.1.4. Поток пропорционален числу силовых линий
Ф пропорционален числу линий напряженности, проходящих через площадь S (9.3.3) и (9.3.8)

9.4.2. Поток вектора через сферу (для поля точечного заряда).

9.4.2.1. Заряд - в центре сферы
На поверхности сферы поле постоянно по величине (9.3.7.):

.

.

Из   (9.4.1.3):

.

9.4.2.2. Заряд в произвольном месте внутри сферы

.

Поток Ф пропорционален числу силовых линий, проходящих через сферу, а их число не изменяется при изменении положения заряда внутри сферы, т.е. поток тоже будет постоянным:

.

9.4.2.3. Поток вектора поля точечного заряда через "измятую" сферу - произвольную поверхность
Число проходящих через "измятую" сферу силовых линий не изменилось, т.е.

.

Эта формула верна для потока вектора Е поля точечного заряда, расположенного ВНУТРИ замкнутой поверхности произвольной формы.

9.4.2.4. Поток вектора Е поля системы зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности

Т.к. (9.3.6) , то по (9.4.1.3) и (9.4.2.3) Для произвольного числа зарядов N: - алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности, делЈнная на ε0.

9.4.2.5. Поток вектора Е для поля, созданного зарядами, находящимися вне замкнутой поверхности

Силовая линия дважды проходит через замкнутую поверхность, один раз она учитывается со знаком "+", другой раз - со знаком "-". В результате поток в этом случае Ф = 0.

9.4.3. Формулировка теоремы Гаусса

Из (9.4.2.4) и (9.4.2.5) следует, что поток вектора напряженности электрического поля через ЛЮБУЮ замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на ε0:

Из  (9.4.1.3)   ,  тогда теорема Гаусса запишется так:

9.4.4. Применение теоремы Гаусса для вычисления полей.
Теорема Гаусса:

а) САМИ выбрать конкретную гауссову поверхность S, такую, чтобы интеграл по этой поверхности легко считался. Затем найти ;

б) посчитать сумму зарядов внутри выбранной нами S;

в) приравнять результат полученный в пункте а), к результату, полученному в пункте б), деленному на ε₀.

9.4.4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

а) выбор гауссовой поверхности:
куда может быть направлено - только по нормали к плоскости! Значит, S надо выбрать так, чтобы вектор был либо параллелен ей (Е_n=0), либо перпендикулярен (Е_n=E).
Этим условиям удовлетворяет, например, "гауссов ящик", изображенный на рисунке.

б) считаем Σq_i внутри "гауссова ящика": очевидно,

;

в) приравниваем результат, полученный в пункте а), к результату пункта б), деленному на ε₀:

.

.

9.4.4.2. Поле плоского конденсатора

По 9.3.6..
Т.к.  ,   то  по 9.4.4.1     .

9.4.4.3. Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра

,     при r > R.

9.4.4.4. Поле однородно заряженной сферы

Применяя теорему Гаусса (9.4.4.) , получим: при r > R. Если r < R, то E = 0.

9.4.4.5. Поле объемного заряженного шара

- объемная плотность заряда
q- суммарный заряд шара

Применяя теорему Гаусса (9.4.4.), получим: