3. Элементы кинематики

3.1. Материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело - простейшие физические модели

3.1.1. Материальная точка

Материальная точка - это одна из простейших физических моделей (1.3).
реальный мир  исследователь модельный мир

Тело из реального мира (см. рис.) иногда можно без ущерба для решаемой задачи заменить точкой в модельном мире, сохранив из всех многообразных свойств этого тела лишь два: положение в пространстве и массу. Эти две характеристики легко описать языком физики (1.4). Массу задают числом. Положение - координатами в выбранной системе координат (3.4.1).

Традиционное определение материальной точки: это тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Здесь вместе присутствуют понятия, описывающие и реальный мир, и модельный мир.

3.1.2. Система материальных точек
Если решается задача о движении нескольких материальных тел и каждое из них можно в условии данной задачи заменить материальной точкой, то моделью этой системы (1.3) будет система материальных точек.

Пример:
реальный мир  исследователь модельный мир

3.1.3. Абсолютно твердое тело

Существуют такие задачи, в которых размерами тела нельзя пренебречь, но, в то же время, можно не учитывать изменение со временем размеров, формы тела. При решении таких задач используют модель - абсолютно твердое тело, т.е. реальное тело заменяют таким, у которого размеры и форма не меняются.

3.2. Тело отсчета

Тело отсчета - это тело, относительно которого определяют положение рассматриваемого нами тела или системы тел.

3.3. Система отсчета

Это система координат, связанная с телом отсчета (3.2) и выбранный способ измерения времени (часы).
реальный мир  исследователь модельный мир

В реальном трехмерном мире система отсчета - это набор масштабных стержней (или линеек) и часы, расположенные в разных местах этих линеек. В модельном мире система отсчета превращается в трехмерную систему координат, положение которой связано с положением тела отсчета. В каждой точке пространства существует возможность определить время любого происшедшего в этой точке события.

3.4. Положение материальной точки в пространстве

3.4.1. Координаты точки

Первый способ задать положение материальной точки - это задать ее координаты. Например, три числа xА, yА, zА задают положение точки A в декартовой системе координат.


3.4.2. Радиус-вектор r - это вектор, проведенный из начала координат (3.3) в какую-либо точку пространства.

3.4.2.1. Компоненты радиус-вектора

На плоскости:


В трехмерном пространстве:


- - единичные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

3.4.2.2. Модуль радиус-вектора

     - по теореме Пифагора.


3.5. Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

3.6. Путь - длина отрезка траектории (3.5) .

3.7. Перемещение - вектор, проведенный из начального положения (3.4.1), (3.4.2) материальной точки (3.1.1) в ее конечное положение.


3.8. Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

либо, применяя другое обозначение производной по времени,



3.8.1. Скорость направлена по касательной к траектории

Так как , то направление вектора совпадает с предельным направлением вектора . На рис. а), б), в) показаны этапы предельного перехода для плоского движения (для простоты иллюстрации):
 а)



     При приближении к , по направлению приближается к касательной.
 б)

Как известно из геометрии, касательная есть предельное положение секущей.
 в)

Значит, скорость направлена по касательной к траектории .

3.8.2. Компоненты скорости

На следующем рисунке изображен вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:


vx, vy - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

Так как .

С другой стороны: ,

откуда ,       так же и       ,

т.е. компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

3.8.3. Модуль скорости - производная пути по времени.

.

По теореме Пифагора:      .

3.9. Вычисление пройденного пути

Для равномерного движения ,      - весь путь,       - весь отрезок времени,       - const.

Для произвольного движения:

.

v1 в течение отрезка Δti приблизительно постоянны, если Δt достаточно мало.
В пределе:

,

т.е. путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени.

3.10. Ускорение - это производная скорости по времени.

      или      

Учитывая (3.8), получим:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины.

Ускорение - это скорость изменения скорости
.

3.10.1. Нормальное и тангенциальное ускорение

Направим единичный вектор     вдоль вектора скорости:



Тогда

(по правилу нахождения производной от произведения).

Первый член, нормальное ускорение,

показывает быстроту изменения направления скорости.

Второй, тангенциальное ускорение,

направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля.

Направление и величину нормального ускорения найдем для частного случая равномерного движения материальной точки по окружности:

Направлен , при , по вектору :

.

.

Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль:

.

Для движения по произвольной кривой R - радиус кривизны траектории - не будет величиной постоянной.

.

.

Физические законы механики