Предыдущая страница !Физические основы механикиСледующая страница !


8. Элементы специальной теории относительности

8.1. Преобразования Галилея - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого СОБЫТИЯ в двух инерциальных системах отсчета. СОБЫТИЕ определяется местом, где оно произошло (координаты x, y, z), и моментом времени t, когда произошло событие. Событие полностью определено, если заданы четыре числа: x,y,z,t - координаты события.

Пусть материальная точка m в системе отсчета К в момент времени t имела координаты x, y, z, т.е. в системе К заданы координаты события - t, х, y, z.

Найдем координаты t', x', y', z' этого события в системе отсчета К', которая движется относительно системы К равномерно и прямолинейно вдоль оси х со скоростью .

Выберем начало отсчета времени так, чтобы в момент времени t = 0 начала координат совпадали. Оси х и х' направлены вдоль одной прямой, а оси у и у', z и z' - параллельны.

Тогда из рисунка ОЧЕВИДНО:

x = x'+Vt .


Кроме того, ясно, что для наших систем координат

y = y',
z = z'.


В механике Ньютона предполагается, что

t = t',


т.е. время течет одинаково во всех системах отсчета.
Полученные четыре формулы и есть преобразования Галилея:

x = x' + Vt,
y = y',
z = z',
t = t'.

8.2. Принцип относительности Галилея:

Никакими механическими опытами нельзя установить, покоится ли данная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно.
Это утверждение согласуется с преобразованиями Галилея. Продифференцируем их 2 раза по времени. После первого дифференцирования получим закон сложения скоростей:
, ,
,т.е., по (3.8): ,
, ,

     Второе дифференцирование дает
, ,
,т.е., по (3.10): ,
, .

Ускорение материальной точки одинаково в обеих системах отсчета. Кроме того, силы, действующие на частицу, одинаковы, не изменяется и величина m (по определению, это масса покоя).

Значит, в системе К второй закон Ньютона

,

такой же, как и в системе К'

,

т.к. a = a' - следствие преобразований Галилея.
Иными словами, на теоретическом уровне, принцип относительности Галилея можно сформулировать так :

Законы механики одинаково выглядят во всех инерциальных системах отсчета.

8.3. Неудовлетворительность механики Ньютона при больших скоростях

Рассмотрим с точки зрения преобразований Галилея движение света.

В системе К' его скорость v'x= c. Тогда, используя полученный закон сложения скоростей из 8.2. для скорости света в системе К мы найдем:

Опубликованные в 1881 г. результаты опытов, выполненных американским физиком А. Майкельсоном, находятся в противоречии с только что полученной нами формулой: галилеевский закон сложения скоростей не годится для света. Скорость света оказалась одинаковой в разных системах отсчета!

В 1895 г. французский математик, физик и философ А. Пуанкаре впервые выступил с новаторским предложением о невозможности никакими физическими опытами (не только механическими, как в принципе относительности Галилея) зарегистрировать абсолютное движение. В 1902 г. он же публикует в книге "Наука и гипотеза" утверждение об отсутствии абсолютного времени, т.е. t ≠ t'.

Законченная теория, позволяющая описывать движение частиц со скоростями v → с, была опубликована в 1905 г. в работах А. Пуанкаре и А. Эйнштейна.

8.4. Постулаты С.Т.О.
Механика больших скоростей, специальная теория относительности (С.Т.О.),
базируется на двух исходных утверждениях, постулатах:

  1. Принцип относительности, согласно которому
    никакими физическими опытами нельзя установить, покоится ли данная система отсчета, либо движется равномерно и прямолинейно.
    Другая формулировка:
    Все законы природы одинаково формулируются для всех инерциальных систем отсчета .
  2. Принцип постоянства скорости света:
    cкорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит ни от движения источника, ни от движения приемника света .

8.5. Преобразования Лоренца - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события(8.1) в двух инерциальных системах отсчета. В отличие от преобразований Галилея преобразования Лоренца не должны противоречить постулатам С.Т.О.: необнаружимости абсолютного движения и постоянству скорости света. При скорости движения системы отсчета V<< c преобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея.

8.5.1. Вывод преобразований Лоренца

Для вывода преобразований Лоренца рассмотрим в двух системах отсчета мысленный опыт. Одна система К - неподвижна, другая К' движется вдоль оси х со скоростью V. Пусть в момент времени t = t' = 0, когда начала систем координат совпадали, в этом начале произошла вспышка света и стала распространяться сферическая световая волна. В соответствии с постулатом I фронт этой волны будет сферой в обеих системах отсчета, сфера эта будет, в соответствии с постулатом II, увеличивать свой радиус со скоростью света и в той, и в другой системе отсчета.

Опираясь на эти требования, найдем вид правильных преобразований координат и времени. В качестве пробного возьмем преобразование Галилея, а затем его подправим.
Фронт световой волны в системе К - это сфера радиуса ct:

x2 + y2 + z2 = c2t2:

В системе К' уравнение фронта этой волны, в соответствии с постулатами I и II

(x')2+(y')2+(z')2=c2 (t')2,

пробуем преобразования Галилея, переходим в К:
(x')2 = (x - Vt)2,
(y')2 = y2,
(z')2 = z2,
(t')2 = t2,
отсюда следует:

x2 - 2Vxt + V2t2 + y2 + z2 = c2t2,

сравните с

(x')2+(y')2+(z')2 = c2(t')2.

Появились ЛИШНИЕ ЧЛЕНЫ, надо так изменить преобразования, чтобы они исчезли.
Пробуем преобразования:

x' = x- Vt, y'=y, z'=z, t'=t-αx

x2 - 2Vxt + V2t2 + y2 + z2 = c2t2 - 2c2αxt + c2α2x2

приравниваем подчеркнутые члены,
получаем:

При таком α остается:

Перегруппируем члены:

Подправим преобразование так, чтобы исчезли выражения в скобках, для этого возьмем

Такие преобразования сохраняют вид уравнения фронта световой волны, сфера преобразуется в сферу, в соответствии с постулатами С.Т.О.
Обозначим, для удобства записи,

тогда преобразования Лоренца запишутся так:
а) прямые  б) обратные
; ;
; ;
; ;
; .


Релятивистская механика должна быть построена таким образом, чтобы уравнения движения не менялись при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. были инвариантны относительно преобразований Лоренца.


8.6. Следствия из преобразований Лоренца

8.6.1. Одновременность событий в разных системах отсчета

В системе K' одновременно (в момент времени t'), нo в разных местах (x'1 и, x'2) произошли два события.

Время первого события в системе К:

,

второго

.

Видно, что t2> t1, т. к. x'2>x'1.      В системе К события не одновременны.

8.6.2. Промежуток времени между двумя событиями

Пусть в системе К' в одной и той же точке с координатой х' происходят в моменты времени t'1 и t'2 два события (например, две вспышки света). В этой системе промежуток времени между событиями:
В системе К:

.

.

Т.к. γ   всегда больше единицы, то Δt > Δt'.

8.6.3. Длина тела в разных системах отсчета

Пусть стержень длины l0 лежит вдоль оси x' в системе К'. Как измерить его длину в системе К, относительно которой он движется?

Мы, в системе К, должны в один и тот же момент времени t (по чаcам системы К) измерить координаты начала и конца стержня. Их разница и будет длиной движущегося стержня. Тогда:

,

.

8.6.4. Преобразование скоростей

Пусть материальная точка движется в системе К со скоростью .
Система K' движется со скоростью относительно K.

.

Компоненты скорости материальной точки (3.8.2.):

Т.к.

;

То

;      ;      .

Это формулы релятивистского преобразования скоростей, они дают связь между компонентами скорости частицы в различных системах отсчета: в системе K и в движущейся со скоростью V системе K'.

8.7. Релятивистская динамика

8.7.1. Релятивистский импульс

В классической механике     (4.5),  при v << c.

В релятивистской механике, где v → c,

.

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического множителем γ.

8.7.2. Уравнение движения в релятивистской механике такое же, как и в классической (4.6)

      но      

8.7.3. Релятивистское выражение для энергии

8.7.3.1. Энергия покоя

При скорости материальной точки v=0

8.7.3.2. Кинетическая энергия (энергия движения)

.

8.7.3.3. Релятивистский инвариант

Из (8.7.3) и (8.7.1) следует, что

- inv, инвариант,

т.е. не зависит от выбора системы отсчета.

Предыдущая страница !Физические основы механикиСледующая страница !
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры