15.3. Волновое уравнение
|
| ||
|
|
||
|
| ||
|
|
| 15.3. Волновое уравнение | |
15.3. Волновое уравнение
Применяя второй закон Ньютона (4.6) к упругой среде, можно получить дифференциальное уравнение в частных производных, решением которого будет уравнение волны. Логическая схема этого вывода такова:
15.3.1. Вывод закона Гука для бесконечно малого упругого стержня
Выделим элемент упругого стержня, длиной Δx.
Закрепим левую часть этого элемента (второй рисунок), правую сместим на величину Δξ вдоль оси x.
- закон Гука.
Здесь коэффициент kупр, характеризующий упругость стержня, зависит от материала стержня, его длины и площади сечения.
15.3.1.1. Нормальное напряжение и относительная деформация
Введем:
- нормальное напряжение,
- относительная деформация.
При Δx → 0
.
Перепишем
, выразив F и Δξ через σ и ε :
или
.
15.3.1.2. Модуль Юнга
Величина
не зависит от длины и сечения стержня, она определяется только упругими свойствами материала, ее называют модулем Юнга материала:
.
15.3.1.3. Закон Гука
Тогда связь нормального напряжения σ и относительной деформации ε будет иметь вид:
.
Это выражение тоже носит название закона Гука.
15.3.2. Вывод волнового уравнения из
.
Пусть волна распространяется вдоль упругого стержня. Рассмотрим элемент этого стержня, его длина равна Δx в невозмущенном состоянии. Пусть при распространения волны левая часть этого элемента сместится на величину ξ(x), а правая - на величину ξ(x + Δx), не равную смещению левой части.
.
В нашем примере стержень растянут внешними силами:
Сумма этих сил равна:
.
Домножим и поделим последнее выражение на Δ x. Величина
при Δx → 0 дает вторую производную от "кси" по x, т.е.
.
Тогда
.
Масса нашего элемента
, его ускорение (3.10)
,
тогда
преобразуется в
,
или
- волновое уравнение.
Проверим, будет ли
его решением.
Откуда
.
Т.к.
(15.2.4), то фазовая скорость упругой продольной волны:
,
и волновое уравнение можно записать в виде:
.
Для волны, распространяющейся в произвольном направлении (15.2.5) волновое уравнение имеет вид:
.
| 15.3. Волновое уравнение | |
|
|
||||||||
|
|
||||||||
