Задача Изменить порядок интегрирования Найти объем тела, заданного неравенствами Найти поток векторного поля Найти производную скалярного поля Каписать канонические уравнения Двойной интеграл Тройной интеграл

12.Интегралы по поверхности 1 и 2 рода

Поверхностные интегралы 1-го рода. Пусть - двусторонняя поверхность, имеющая площадь . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части с помощью непрерывных кривых. Пусть функция определена во всех точках поверхности . Выберем произвольным образом точки и рассмотрим сумму .

Определение. Пусть . Если , то мы говорим, что есть поверхностный интеграл 1-го типа от функции по поверхности и обозначаем это следующим образом: .

Отметим, что в определении интеграла первого типа сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности , поверхностная плотность которой в точке равна .

Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие формулы.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференцируемая на квадрируемой областифункция, . Тогда для любой непрерывной на поверхности функции .

Замачание 1. Если поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, то . Аналогично, в случае задания поверхности уравнением при аналогичных условиях на область и функцию .

Теорема 2. Если поверхность задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции на . Пусть непрерывна на . Тогда .

Теоремы 1 и 2 мы оставим без доказательства.

Вместо этого приведем пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.

Задача. Найти , где - граница тела .

Решение. Это тело представляет собой конус. состоит из боковой поверхности и основания . На боковой поверхности, уравнение которой всюду, кроме точки и и .

Нарушение этой формулы в единственной точке не повлияет на результат, поэтому , где - проекция на плоскость , т.е. - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам: ( - якобиан преобразования) .

Основание задано уравнением , поэтому и (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

Поверхностные интегралы 2-го рода.

Пусть двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .

Для вычисления поверхностного интеграла 2-го типа используются следующие правила.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференщируемая в области функция, - непрерывная на функция. Тогда если выбрана верхняя сторона , то , а если выбрана нижняя сторона, то .

Аналогично, если задана уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция на , то , если нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Если же , - непрерывно дифференцируемая на функция, а непрерывна на , то , если выбранная нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Теорема сформулирована без доказательства.

Следствие 1. Если поверхность допускает представление как в виде , так и в виде и в виде , то при условиях теоремы 1 , где выбор знака + или – перед соответствующим слагаемым в правой части равенства определяется тем, какой угол составляют нормали к выбранной стороне с соответствующей осью.

Следствие 2. Если представляет собой конечное объединение непересекающихся поверхностей, , каждая из которых удовлетворяет условиям следствия 1, то и для вычисления используется следствие 1.

Теорема 2. Пусть двусторонняя поверхность задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции и .

Тогда для непрерывным на функций и выбранной нормали , где, напоминаем, , , . При этом выбор знака "+" или "-" перед интегралом производится в соответствии с выбором нормали (и, следовательно, стороны) поверхности. К примеру, если указано, что нормаль составляет с осью острый угол, то знак перед интегралом совпадает со знаком .

Теорема 2 также дана без доказательства.

Пример. Приведем пример вычисления поверхностного интеграла 2-го типа , где- внешняя сторона сферы . Обозначим . Из соображений симметрии очевидны равенства , так что . Поверхность состоит из частей и , задаваемых уравнениями (это - верхняя полусфера) и (это уравнение для нижней полусферы ). На внешняя нормаль составляет с осью острый угол, на - тупой.

Поэтому . Аналогично, т.к. на , а нормаль составляет с осью тупой угол, . Значит, . Поэтому .

На главную