Линейные электрические цепи постоянного тока Электрические цепи однофазного синусоидального тока Четырехполюсники и электрические фильтры Периодические несинусоидальные напряжения и токи Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Периодические несинусоидальные напряжения и токи

Задача 7.1

 Разложить в тригонометрический ряд функцию, выражаемую кривой периодических импульсов напряжения постоянной амплитуды Um длительностью tи (рис. 7.1 а).

Дано: Um= 10 В, tи = 0,2 мс, T = 1 мс.

  Полученную функцию представить также в виде комплексного ряда Фурье. Построить амплитудно-частотный спектр в зависимости от: а) номера гармоники n и б) угловой частоты ω. Такие же спектры построить, если Т = 2 мс, остальные длины те же.

 Рис. 7.1

Решение

Уравнение заданной кривой в интервале от t = 0 до tи f1(t) = Um, в интервале от t = tи до t = T − f2(t) = 0.

Разбивая область интегрирования на два участка, с помощью формул


 

  учитывая, что f1(t) = Um, f2(t) = 0, находим коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник:

  Вычисляем коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник. При этом имеем в виду, что

рад.

Для удобства расчеты сведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

nω1=ωn

0

2π∙103

4π∙103

6π∙103

8π∙103

10π∙103

12π∙103

14π∙103

16π∙103

18π*103

20π*103

ωntn/2=ωn∙10-4

0

0,2π

0,4π

0,6π

0,8π

π

1,2π

1,4π

1,6π

1,8π

sin(nω1tи/2)

0

0,588

0,951

0,951

0,588

0

-0,588

-0,951

-0,951

-0,588

0

Un,m, В

2

3,74

3,03

2,02

0,935

0

-0,624

-0,866

-0,757

-0,416

0

ψn , рад

-

0,3π

0,1π

-0,1π

-0,3π

-

-0,7π

-0,9π

-1,1π

-1,3π

-

Искомый ряд

u = [2 + 3,74sin(ω1t + 0,3π) + 3,03sin(2ω1t + 0,1π) + 2,02sin(3ω1t - 0,1π) +  + 0,935sin(4ω1t - 0,3π) - 0,624sin(6ω1t - 0,7π) - 0,866sin(7ω1t - 0,9π) - 0,757sin(8ω1t - - 1,1π) - 0,416sin(9ω1t - 1,3π) +…], В.

Или, учитывая, что – sin(nω1t - ψn) = sin(nω1t - ψn ±π), окончательно получим

u = [2 + 3,74sin(ω1t + 0,3π) + 3,03sin(2ω1t + 0,1π) + 2,02sin(3ω1t - 0,1π) + + 0,935sin(4ω1t - 0,3π) + 0,624sin(6ω1t + 0,3π) + 0,866sin(7ω1t + 0,1π) + + 0,757sin(8ω1t - 0,1π) + 0,416sin(9ω1t - 0,3π) +…], В.

Для определения ряда Фурье в комплексной форме  находим комплексные амплитуды

Таким образом, комплексная форма ряда Фурье

  На основе полученных результатов на рис. 7.1 б изображен амплитудно-частотный спектр напряжения в зависимости от номера гармоники (расчеты для n от 1 до 10 даны в табл. 7.1; аналогичные расчеты для n = 11…30 рекомендуется проделать самостоятельно).

  По данным табл. 7.1 на рис. 7.1 в построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от ωn = nω1. Для построения графика выбраны масштабы: по оси абсцисс одному делению соответствует 1·10 -3 с -1; по оси ординат в одном делении 100·10 -6 В·с (при построении последнего графика спектральные амплитуды приведены к нормированному масштабу путем деления на ω1 = 2π/T).

На рис. 7.1 г построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от n при
T = 2 мс, а на 7.1 д спектр изображен в нормированном масштабе в зависимости от ωn (расчеты рекомендуется проделать самостоятельно).

  Из рис. 7.1 в, д видно, что спектральные характеристики импульсов одной и той же длительности tи зависят от периода Т следования импульсов. Чем он больше, тем гуще располагаются спектральные линии, а амплитуды соседних гармоник близки по значению.

 На рис 7.1 б - д отложены значения 1/2Un, соответствующие положительным частотам. Полный спектр можно получить, если построить такой же график симметрично относительно вертикальной оси (т.е. отложить соответствующие отрезки для отрицательных частот).

Задача 7.2

 К зажимам цепи (рис. 7.2), параметры которой R = 30 Ом, L1 = 60 мГн; R1 =  = 18 Ом, приложено напряжение u = [120 + 200sinω1t + 50sin(3ω1t + 300)] В.

Рис. 7.2

Частота основной гармоники f1 = 50 Гц. Написать выражения мгновенных значений тока i, напряжения uab на участке ab. Определить показания приборов, если А1 и V1 – приборы магнитоэлектрической системы без выпрямления – показывают постоянные составляющие, А2 и V2 – приборы индукционной системы – показывают действующее значение переменной составляющей, А3 и V3 – приборы тепловой системы – показывают действующее значение тока и напряжения. Вычислить активную мощность, расходуемую в цепи.

Решение

Постоянные составляющие тока и напряжения на участке ab:

I(0) = U0/(R+R1) = 120/(30+18) = 2,5 A;

Uab(0) = R1I(0) = 45 B.

Расчет для первой гармоники:

Напряжение на участке ab:

Расчет для третьей гармоники:

,

Уравнение для i и uab:

i = [2,5 + 3,88sin(ω1t - 21°25’) + 0,674 sin(3ω1t - 19°40’)] A;

uab = [45 + 101 sin(ω1t + 24°55’) + 40 sin(3ω1t + 52°40’)] B.

Найдем показания приборов:

амперметр A1 Io = 2,5 A;

вольтметр V1 Uo = 120 B;

амперметр A2 

вольтметр V2

амперметр A3 

вольтметр V3

Мощность, расходуемая в цепи, определяется по формуле

P = U(0)I(0) + U(1)I(1)cosφ1 + U(3)I(3)cosφ(3) =


Примеры решения задач по электротехнике