Линейные электрические цепи постоянного тока Электрические цепи однофазного синусоидального тока Четырехполюсники и электрические фильтры Периодические несинусоидальные напряжения и токи Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Задача 10.3

 Построить кривые изменения во времени потокосцепления ψ тока i и напряжения и на индуктивной катушке в схеме рис. 10.3 а.

 Характеристика ψ = f (i) изображена на рис. 10.3 б; ψm = 0,015 В∙с. График действующей э. д. с. e = f (t) изображен на рис. 10.3 в; Em = 100 В. Период T = 9∙10-4 с; R = 1000 Ом.

  а) б) в) г)

Рис. 10.3

Решение

 К концу отрицательного полупериода ψ = - ψm и i = 0, в положительный полупериод в уравнении  слагаемое Ri = 0 в случае, когда изображающая точка перемещается по вертикальному участку зависимости ψ = f (i), т. е. когда происходит перемагничивание индуктивной катушки. В этом интервале времени ; , где С – постоянная интегрирования. При t = 0 ψ = - ψm, отсюда С = - ψm; потокосцепление ψ изменяется по закону  до момента времени , тогда ψ достигает ψm. В интервале от Т/3 до Т/2 ψ = ψm; Ri = e(t). Следовательно, i = E/R = 0,1 A. Графики требуемых величин в функции t показаны на рис. 10.3 г.

Задача 10.4

Цепь состоит из последовательно соединенных линейного и нелинейного НЭ резисторов и источника ЭДС , где Еm = 120 В;  = = 314 рад/с (рис. 10.4). Сопротивление линейного резистора R = 40 Ом, вольт-амперная характерис-тика нелинейного резистора аппроксимирована зависимостью

 ;  (1)

 Рис. 10.4 где а = 50 Ом; b = 40 В/Аз.

Определить первую гармонику тока в цепи методами:

1) гармонического баланса;

2) гармонической линеаризации.

Решение

1. Метод гармонического баланса.

Уравнение цепи по второму закону Кирхгофа:

.  (2)

Представим ток гармонической функцией . Требуется определить амплитуду тока Im, и сдвиг по фазе j относительно ЭДС.

Для удобства последующих преобразований обозначим ; тогда заданная ЭДС .

Подставим искомое решение для тока в уравнение цепи (2) и выделим синусную и косинусную составляющие в выражении ЭДС:

.

Приравняв коэффициенты при одноименных тригонометри­ческих функциях в левой и правой частях равенства, получим:

 (3)

  (4)

Из уравнения (3) следует, что . Уравнение (4) при заданных численных значениях величин

приведем к виду

и решим, где p = 1; g = -2;

А;

т. е.  А.

Метод гармонической линеаризации

При  нужно определить Im и j .

Определим сопротивление нелинейного резистора по 1-й гармонике , где в соответствии с (1)  - амплитуда 1-й гармоники напряжения на нелинейном элементе. Сопротивление в комплексной форме

так как у резистора первые гармоники напряжения и тока совпадают по фазе.

Составим уравнение цепи по второму закону Кирхгофа в комплексной форме

,

где комплексные величины < -j .

После подстановки численных значений получим:

.

Поскольку правая часть уравнения действительная, то j = 0 и уравнение приводится к виду , откуда Im = 1 А.

Задача 10.5

Катушка со стальным магнитопроводом имеет постоянное подмагничивание и подключена к источнику ЭДС , где Еm = 40 В, рад/с. Вебер-амперная характеристика катушки с учетом подмагничивания задана зависимостью , где ток измеряется в амперах, потокосцепление в веберах.

Определить ток в катушке.

Решение

Для определения тока в катушке предварительно вычислим потокосцепление

,  (1)

где  Вб.

Постоянная интегрирования  определяется из условия отсутствия постоянной составляющей у тока катушки. Подставив  по (1) в заданную зависимость тока, получим:

  (2)

откуда из условия отсутствия постоянной составляющей тока следует, что

;

или

  (3)

- кубическое уравнение.

Постановкой

  (4)

приводим уравнение (3) к виду, где в соответствии ; . Таким образом, получили уравнение

;

находим .

По (4) искомое значение постоянной интегрирования  Вб. Подставив  в выражение (2), найдем ток

А.


Примеры решения задач по электротехнике