Линейные электрические цепи постоянного тока Электрические цепи однофазного синусоидального тока Четырехполюсники и электрические фильтры Периодические несинусоидальные напряжения и токи Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока

Задача

 Найти ток в ветви с источником ЭДС E2 в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.8 а, если параметры цепи такие же, как в примере 1.7.

Решение

Приняв E2 = 0, получим схему, показанную на рис. 1.8 б.

 Для определения частичного тока , созданного в ветви источником ЭДС E1 найдем вначале напряжение между узлами 1 и 2:

  В.

Частичный ток

  = А.

Ток   направлен от узла 1 к узлу 2.

Приняв E1 = 0, получим схему, приведенную на рис. 1.8 в.

а)

б)

в)

Рис. 1.8

Частичный ток  в рассматриваемой ветви найдем по закону Ома:

  =  А.

 Ток  направлен от узла 2 к узлу 1. Действительный ток в ветви I2 равен разности частичных токов I2 =  –  = 4,33 – 2,33 = 2 А. Он направлен от узла 1 к узлу 2.

Задача 1.9

 Найти токи в ветвях электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.9, если параметры ее такие же, как и в примере 1.7.

 Рис. 1.9

Решение

 Заземлим нижний узел, присвоив ему номер 0, а верхнему узлу - номер 1 (рис. 1.9). Система узловых уравнений в рассматриваемом примере состоит только из одного уравнения:

g11φ1 = J1.

 Для определения узлового тока узла 1 целесообразно от источников ЭДС перейти к источникам тока:

J1'=E1/(Ri1+R1)=E1g1 ,

J2'=E1/(Ri2+R2)=E2g2.

Тогда

J1 = J1' + J2' = E1g1 + E2g2 = El/(Ri1+R1) + E2/(Ri2 + R2) ≈ 18 А.

Определим собственную проводимость узла 1:

g11 = g1+g2+g3 = 1/(Ri1+ R1) + 1/(Ri2 + R2) + 1/R3 ≈ 1,13 См.

Подставив g11 и J1 в уравнение g11 φ1 = J1, найдем потенциал узла 1:

φ1 = J1 /g11 = 18/1,13 ≈ 16 В.

Определим токи в ветвях. Для этого запишем значение потенциала φ1, двигаясь от узла 0 к узлу 1 по ветви с источником ЭДС Е1:

φ1 = φ0 – Ri1I1 + El –R1I1, откуда с учетом того, что φ0 = 0, получим

I1 = (E1- φ1)/(Ri1+ R1) = (50 - 16)/(0,4 + 3) = 10 A.

Для ветвей с сопротивлением R3 и источником ЭДС Е2 аналогично получим

φ1 = φ0+ R3I3, откуда I3 = φ1 /R3 = 8 А, φ1 = φ0+ Ri2I2 + Е2 + R2I2.

Тогда I2 = (φ1- E2)/(Ri2 + R) = (16 - 10)/(1 + 2)= 2 A.

Уравнение баланса мощностей:

E1I1-Е2I2 = I12(R1 + Ri1) + I22(R2 + Ri2) + I32R3;

50∙10 – 10∙2=100∙(3 + 0,4) + 4∙(1+ 2) + 64∙2;

480 Вт = 480 Вт.

Задача решена правильно

Задача 1.10

 В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.10, дано: E1 = 6 В, E2 = 3 В, R1 = R2 =  = R3= 1 Ом. Требуется определить токи в ветвях, методом контурных токов.

 Рис. 1.10

 

 

Решение

  В схеме цепи два независимых контура. Произвольно обозначим на схеме положительные направления контурных токов I/ и I// стрелками. Выбранные сопротивления контуров R11 = R1 + R3 = 1 + 1 = 2 Ом, R22 = R2+ R3 = 1 + 1 = 2 Ом. Взаимные сопротивления R12 = R21 = – R3 = –1 Ом. Контурные ЭДС E1 = E1 = 6 В, E11 = E2 = – 3 В.

  Система контурных уравнений: R11 I/ + R12 I// = E1,

 R21 I/ + R22 I// = E11.

 Подставив найденные значения в систему контурных уравнений, получим:

2∙I1 – I// = 6,

–I1 + 2∙I// = –3.

Из первого уравнения системы: I// = 2I1 – 6. Подставив I// во второе уравнение, получим: – I1 + 4I1 – 12 = – 3, откуда I1 = 3 А. Тогда I// = 2I1 – 6 = 2·3 – 6 = 0.

Сила токов в ветвях: I1 = I/ = 3 А, I2 = I// = 0, I3 = I1 – I2 = 3 – 0 = 3 А.

Задача 1.11

Определить токи в ветвях электрической цени, изобра-жённой на рис. 1.11, методом контурных токов, если Е1 = = 50 В, Е2 = 75 В, J = 2 А, R1 = 30 Ом, R2 = 50 Ом.

 Рис. 1.11

Решение

 Независимые контуры и обход по ним выберем так, как показано стрелками на рис. 1.11. Тогда уравнение, связывающее контурные токи (I11 и I22) и ЭДС, имеет

вид:

I11·(R1 + R2 ) + I22·R12 = Е1 + Е2,

где I22 = J, R12=R2. 

Из этого уравнения находим

I1 = I11 = А; I2 = I1 + J = 0,31 + 2 = 2,31 А.

Задача 1.12

  Определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 1.12) методом узловых потенциалов, если El = 20 В, E2 = 30 В, E3 = 2 В, E4 = 1,2 В, E5 = 5,6 В, R1 = = 50 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 20 Ом, R4 =10 Ом, R5 = 100 Ом, R6 = 50 Ом, R7 = = 20 Ом.

Решение

  В тех случаях, когда в цепи имеется ветвь с идеальным источником ЭДС, целесообразно считать заземленным один из узлов именно этой ветви. Примем равным нулю потенциал узла 3, тогда потенциал узла 1 равен E1 = φ1 = 20 B.

 Общее число требующихся для решения задачи уравнений уменьшается на одно, т. е. достаточно следующих уравнений:

 g21 φ1 + g22 φ2 + g24 φ4 = JII ; (12.1)

  g41 φ1 + g42 φ2 + g44 φ4 = JIV.

Рис. 1.12

Определим собственные и взаимные проводимости узлов:

g22 =  1/R3 + 1/R4 + 1/R6 = 1 / 10 + 1 /20 + 1 /50 = 0,17 См;

g44 = 1/R4+1/R5 +1/R7 = 1/20 + 1/10 + 1/20 = 0,2 См;

g12 = g21 = -1/R6 = -1 /50 = -0,02 См;

g24 = g42 = -1/R4 = -1 /20 = -0,05 См;

g14 = g41 = -1/R7 = -1 /20 = -0,05 См.

Определим узловые токи:

JII = Е3 /Rз - E4 /R4 = 2/10 -1,2/20 = 0,14 А;

JIV = E4 /R4 + Е5 /R5 = 1,2/20 + 5,6/10 = 0,62 А.

Подставим полученные результаты в систему уравнений (12.1):

 -0,02 ∙ 20 + 0,17 φ2 - 0,05 φ4 = 0,014; (12.2)

 -0,05 ∙ 20 - 0,05 φ2 + 0,2 φ4 = 0,62.

Решив систему уравнений (12.2), определим потенциалы узлов 2 и 4:

 φ2 = 6 В, φ4 = 9,6 В.

Пользуясь законом Ома, определим токи в ветвях:

I1 = 0,2 А; I2 = 0,2 А; I3 = 0,4 А; I4 = 0,12 А; I5 = 0,4 А; I6 = 0,28 А;

I7 = 0,52 А.

Ток в ветви с источником ЭДС Е1 определяется no первому закону Кирхгофа:

IЕ1=I6 + I7 + I8 -I2 = 0,2 + 0,28 + 0,52 - 0,2 = 0,8 А.

Или

IE1 = I6 + I3 + I5 - I2 = 0,2 + 0,4 + 0,4 - 0,2 = 0,8 А.

Уравнение баланса мощностей показывает, что мощность источников ЭДС примерно равна мощности нагрузки.


Примеры решения задач по электротехнике