Линейные электрические цепи постоянного тока Электрические цепи однофазного синусоидального тока Четырехполюсники и электрические фильтры Периодические несинусоидальные напряжения и токи Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Задача 11.10

Энергия передается на высокой частоте от генератора к излучающей системе с помощью фидера (линии), имеющего индуктивность L0 = 1,57 мкГн/м и емкость С0 = 7,1 пФ/м. Потерями в фидере можно пренебречь (R0 = G0 = 0). Частота переменного тока f = 108 Гц.

Определить:

а) волновое сопротивление, коэффициенты ослабления и фазы, длину волны; б) входное сопротивление отрезка этого фидера длиной в 1/8 длины волны при холостом ходе и коротком замыкании; в) расчет повторить для отрезков фидера длиной в 1/4, 3/8 и 1/2 длины волны, для каждого из рассчитанных случаев начертить эквивалентную схему фидера; г) начертить кривые изменения входных сопротивлений Zх и Zк в функции длины фидера.

Решение

а) вычислим Zв, β и λ соответственно по формулам

   и

  Ом;

 рад/м;

  м;

б) из формулы  находим  а для фидера длиной l = λ/8

βl=

Входные сопротивления определим по формулам Zx=Zв/jtgβl; Zк=jZвtgβl;

  Ом;

 Ом.

Эквивалентная схема двухполюсника при холостом ходе – емкость с сопротивлением 470 Ом, при коротком замыкании – индуктивность с сопротивлением 470 Ом.

Расчет для других значений длины фидера рекомендуем проделать самостоятельно:

при l = λ/4 Zx = 0, Zк = ∞;

при l = 3λ/8 Zx = j470 Ом, Zк = -j470 Ом;

при l = λ/2 Zx = ∞, Zк = 0.

Кривые изменения входного сопротивления в функции длины фидера можно рассчитать по формулам Zx = Zв/jtgβl; Zк = jZвtgβl:

при холостом ходе Zн = ∞ Zx = -jZвtgβg;

при коротком замыкании Zн = 0 Zк = jZвtgβg.

Во всех рассмотренных случаях входное сопротивление линии является чисто реактивным: Z = jX (Zx = jXx, Zк = jXк).

Кривая Хк = f1(g) имеет катангенсоиды, а кривая Хк = f2(g) – тангенсоиды (рис. 11.10 а и б).

Рис. 11.10

Задача 11.11

Фидер, параметры которого L0 = 1,57 мкГн/м, С0 = 7,1 пФ/м, имеет длину l= =5 м и находится в режиме холостого хода. Подсчитать действующие значения напряжения в конце и тока в начале линии, если к фидеру подключено напряжение u1 = U1msinωt (U1 = 10 В, f = 108 Гц). Начертить кривые распределения действующих значений напряжения и тока в начале фидера. Начертить кривые распределения мгновенных значений напряжения и тока вдоль фидера для двух моментов времени: t = 0 и t = T/8. Определить коэффициенты отражения и бегущей волны.

Решение

Подсчитаем величины, которые потребуются в дальнейших расчетах:

βl = 2,1·5 = 10,5 рад = (4,22+2π) рад;

cosβl = cos(4,22+2π) = -0,472;

sinβl = sin(4,22+2π) = -0,881.

Примем В. Из формулы ; для режима холостого хода (I2=0) определим действующее значение напряжения в конце линии (x=l):

U2=U1/cosβl=10/(-0,472)=21,2 В.

Действующее значение тока в начале линии вычислим по формуле

  мА.

Комплексные действующие значения напряжений и токов можно записать на основании формул

  ;

  В;

 мА.

Действующие значения напряжений и токов соответственно равны

  В;

 мА.

По этим уравнениям на рис. 11.11 а построены соответствующие кривые.

Рис. 11.11

Запишем в общем виде уравнения мгновенных значений напряжений и токов в режиме холостого хода (I2 = 0):

u=U2mcosβg sinωt; 

Эти уравнения примут вид для момента t = 0:

u = 0; мА;

для момента t = T/8

В;

мА.

На рис. 11.11 б построены кривые напряжения и тока для моментов t = 0 и T/8.

Коэффициенты отражения со стороны нагрузки определим по формуле

;

Коэффициент бегущей волны

Задача 11.12

Линию, параметры которой L0 = 1,67 мкГн/м, С0 = 6,67 пФ/м, l = 5 м, требуется согласовать с нагрузкой R2 = 5Zв с помощью четвертьволнового отрезка.

Определить волновое сопротивление Zв1 этого отрезка так, чтобы в точках аа соединения линии со вставкой не было отражения. Полагая, что напряжение на нагрузке U2 = 10 B, f = 108 Гц, вычислить напряжение и ток в начале вставки и в начале линии. Рассчитать и построить графики распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии и вставки. Вычислить мощность, подводимую к линии и расходуемую в нагрузке.

Решение

Схема согласования линии с нагрузкой с помощью четвертьволновой вставки дана на рис. 11.12 а.

Рис. 11.12

Вычислим длину волны и коэффициент фазы по формулам:

λ = 2π/β; υв = λ/Т = ω/β;

λ = c/f = 3·108/108 = 3 м; β = 2π/λ = 2π/3.

Длина четвертьволновой вставки l1 = λ/4 = 3/4 = 0,75 м.

Входное сопротивление нагруженной четвертьволновой вставки между точками аа можно определить, используя формулу

  где thn = Zн/Zв или

У такой вставки l1 = λ/4, а следовательно, по формулам 

λ = 2π/β;  υв = λ/Т = ω/β имеем βl1 =

Подставляем найденное значение βl1 в и, обозначая волновое сопротивление вставки Zв1, будем иметь

Последнее выражение дает неопределенность, раскрывая которую, получим

Для согласования линии с нагрузкой необходимо выполнить условие

Zвх = Zв или .

Отсюда

 Ом.

Напряжение и ток в начальной вставке (точки аа) найдем по формулам

;

в которых следует принять g = l1 и волновое сопротивление Zв1:

мА.

Линия в точках аа согласована с нагрузкой. Напряжение и ток в начале линии при отсчете с конца определяем формулами

Действующие значения напряжения и тока представляют собой модули последних комплексов и соответственно

.

Графики этих величин – прямые, параллельные оси y (рис. 11.12 б). Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль вставки определяем по формуле

где m = Zв1/R2 = 1120/2500≈0,45;

  B;

 мА.

По этим уравнениям на рис. 11.12 б построены кривые U(g) и I(g).

Расчет мощностей

Действующие значения напряжения и тока в начале линии имеют такие же значения, как и в точках аа, т.е. U1 = 4,5 B, I1 = 9 мА, а по фазе совпадают, так как линия согласована с резистивной нагрузкой, а подводимая к линии мощность P1 = =U1·I1 = 4,5·9·10-3 ≈ 40·10-3 Вт.

Мощность, расходуемая в нагрузке:  Вт;

т.е. P2 = P1. Этот результат можно было предвидеть, если учесть, что линия идеальная и, следовательно, не имеет потерь, поэтому вся подводимая к линии мощность расходуется в нагрузке.

Задача 11.13

Линию без потерь, параметры которой Zв = 500 Ом, β = 2,1 рад/м, длина l = 5 м, надо согласовать с резистивной нагрузкой R2 = 2500 Ом с помощью короткозамкнутого шлейфа, имеющего такое же волновое сопротивление, как и линия на рис. 11.13. Определить минимальную длину шлейфа lш и место его включения, при которых входное сопротивление в месте присоединения шлейфа (точки bb) равно волновому сопротивлению линии.

Чему в этом случае равны ток, напряжение и мощность, подводимая к линии и расходуемая в нагрузке?

Напряжение на нагрузочном сопротивлении U2 = 10 В, частота f = 108 Гц.

Решение

Рис. 11.13

Из рис. 11.13 видно, что участок линии длиной l’ и шлейф, имеющий длину lш, соединены параллельно. Вычислим их эквивалентное сопротивление. Для этого надо определить входные сопротивления: Z’ – участка линии длиной l’ и Zш – сопротивление короткозамкнутой линии без потерь длиной lш. Каждое из этих сопротивлений вычисляем по формуле :

  где m = Zв/R2; Zвх ш = jZвtgβlш.

Входные проводимости этих участков – величины, обратные их сопротивлениям. Входная проводимость участка линии длиной l’ представляет собой комплексную величину, а входная проводимость шлейфа – мнимую. Эти проводимости соответственно

Входное сопротивление любого отрезка линии, нагруженного согласованно, должно быть равно волновому сопротивлению. Это означает, что входное сопротивление в точках bb, представляющее собой сопротивление двух параллельных ветвей, тоже должно быть равно Zв:

Учитывая, что волновое сопротивление линии без потерь является действительной величиной, получим

1/Zв = G’; B’ = Bш;

или

  (1)

и

  (2)

Уравнение (1) с учетом значения m можно преобразовать следующим образом:

Следовательно, длину участка линии, находящегося за местом присоединения шлейфа, можно найти по формуле

  (3)

Подстановка выражения tgβl’ в уравнение (2) дает возможность найти длину шлейфа lш. Простейшие преобразования приводят к формуле

  (4)

Формулы (3) и (4) содержат круговые функции, которые многозначны. Это приводит к многозначности величин l’ и lш. При расчете следует выбирать наименьшее значение lш, так как это обеспечивает наименьшие размеры согласовывающего устройства.

Подставляя числовые значения в формулу (4), получим

Здесь принят знак плюс, так как при этом значении lш минимально.

Наконец по формуле (3) находим

Напряжение в точках bb присоединения шлейфа вычислим по формуле

где m = Zв/Zн.

Так как линия не имеет потерь, то напряжение в ее начале имеет тоже значение, т.е. U1 = 4,46 В. Ток в начале линии (так как линия нагружена на согласованную нагрузку):

I1 = U1/Zв = 4,46/500 = 8,92·10-3 А = 8,92 мА.

Мощность, поступающая в линию:

P1 = U1I1 = 4,46·8,92·10-3 = 40 мВт.

Мощность, расходуемая в нагрузке:

P2 = U2I2 = 10·(10/2500) = 40 мВт.

Мощности P1 = P2, так как линия не имеет потерь.

Задача 11.14

Резонатор (колебательный контур) выполнен из короткозамкнутого отрезка четвертьволновой медной двухпроводной линии длиной l = 0,75 м (рис. 11.14 а, б). Диаметр провода d = 4 мм, расстояние между ними а = 20 см. Определить длину волны λ0, резонансную частоту f0, первичные параметры отрезка линии R0, L0, C0?, волновое сопротивление Zв, коэффициент затухания α и входное сопротивление Zвх короткозамкнутого отрезка линии.

Вычислить параметры контура, эквивалентного четвертьволновому отрезку линии, и его добротность.

Рис. 11.14

Решение

Длина волны и соответствующая ей частота:

λ0 = 4l = 4·0,75 = 3 м; f0 = C0/λ0 = 3·108/3 = 108 Гц = 100 МГц.

Резистивное сопротивление единицы длины линии найдем по формуле

R0 = 16,65 = 16,65·10-2· = 420 Ом/км = 0,42 Ом/м.

Индуктивность и емкость единицы длины провода вычислим по формулам:

  Гн/км = 1842 мкГн/м;

Ф/км = 6,03 мкФ/м.

Волновое сопротивление и коэффициент затухания определяем по формулам:

.

Входное сопротивление

 где .

С учетом того что

Из теории известно, что эквивалентным коротковолновому четвертьволновому отрезку линии является параллельный контур (рис.12.14 б), параметры которого находим по формулам:

;

Добротность контура

Задача 11.15

Резонатор выполнен в виде разомкнутого четвертьволнового отрезка двухпроводной линии, параметры которой даны в предыдущей задаче. Вычислить параметры контура, эквивалентного разомкнутому четвертьволновому отрезку, и его добротность.

Решение

Эквивалентным разомкнутому четвертьволновому отрезку линии является последовательный контур R, L, C, параметры которого вычисляем по следующим известным из теории формулам:

  Ом;

 Гн;

Отметим, что добротность четвертьволнового отрезка линии в режимах короткого замыкания и холостого хода одна и та же.

Библиографический список

1. Теор. основы электротехники: Учеб. для вузов / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003. – 576 с.: ил.

2. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2. – 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003. – 576 с.: ил.

3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учеб. – 10-е изд. – М.: Гардарики, 2000. – 638 с.: ил. + Прил.

4. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. М.: Энергия, 1970. Ч. 1. 592 с.

5. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. Пособие для энергет. и прибростроит. специальностей вузов / Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова, М. Е. Заруди и др.; под ред. Л. А. Бессонова. – 4-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 2000. – 528 с.: ил. .

6. Шебес М. Р., Каблукова М. В. Задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1990. 554 с

7. Сборник задач по расчету электрических цепей. Под ред. С. И. Куренева. М.: Высш. шк., 1967. 384 с.


Примеры решения задач по электротехнике