Линейные электрические цепи постоянного тока Электрические цепи однофазного синусоидального тока Четырехполюсники и электрические фильтры Периодические несинусоидальные напряжения и токи Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Глава 2

Электрические цепи однофазного синусоидального тока

Задача 2.1

 По известному комплексному току İ = (6 + j8) А записать выражение для его мгновенного значения.

Решение

 Находим:  I =  = 10 А; Im = I  = 14,1 А; ψ = arctg(8/6) = 53°7', следовательно, i(t) =14,1 sin(ωt + 53°7') А.

Задача 2.2

 Найти комплексную амплитуду и комплекс действующего значения тока, если его мгновенное значение описывается выражением i(t) = 14,1 sin(ωt + 30° ) А.

Решение

Находим: İm= 14,1e j30° А, I = Im/ = 10 А, İ = 10е j30° А.

Задача 2.3

  В сеть напряжением U = 220 В и частотой f = 50 Гц включается поочередно реостат с сопротивлением 10 Ом, индуктивная катушка с индуктивностью L =  = 32 мГн и конденсатор емкостью 317 мкФ. Определить для каждого случая токи в приемниках, построить векторные диаграммы.

 

Рис. 2.3

Решение

 Схемы замещения цепей представлены на рис. 2.3 а, б, в.

Комплексные сопротивления:

Направление вектора  на комплексной плоскости выбираем по оси +1, тогда  = 220ej° = 220 В.

Комплексные действующие значения токов:

Мгновенные значения токов:

Векторные диаграммы построены на рис. 2.3 г, д, е.

Задача 2.4

 Напряжение и ток пассивного двухполюсника равны  = (20 + j40) В,

İ = (5 + j3) А. Построить векторную диаграмму на комплексной плоскости. Найти мгновенное напряжение и ток.

Решение

 На комплексной плоскости с ортами +1 и +j строим векторы комплексных тока İ и напряжения  (рис. 2.4). Длины векторов пропорциональны в выбранном масштабе модулям комплексных действующих значений напряже-ния и тока:

Их начальные фазы:

Комплексные действующие напряжение и ток в показательной форме:

Комплексные амплитуды напряжения и тока:

Мгновенные напряжения и ток:

Задача 2.5

 В сеть напряжением 220 В включены последовательно катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 159 мГн, а также батарея конденсаторов. Определить емкость батареи, при которой в цепи установится резонанс напряжений. Найти ток в цепи и напряжение на индуктивном и емкостном элементах. Построить топографическую диаграмму напряжений.

Решение

 Схема замещения цепи представлена на рис. 2.5 а. Сопротивление ее реактив-ных элементов при резонансе Lω = 1/(Cрезω). Отсюда

Cрез = 1/( Lω2) = 63,5 мкФ и XL = XC = 50 Ом.

Подпись: Рис. 2.5

 Комплексное входное сопротивление схемы при резонансе будет чисто активным:  Ток 

 Напряжение на индуктивном и емкостных элементах равны между собой и значительно превышают входное напряжение: 

Поэтому внезапное установление резонанса напряжений в цепях может вызвать аварийную ситуацию, привести к пробою изоляции и т.д. Топографическая диаграмма напряжений при резонансе приведена на рис. 2.5 б.

Задача 2.6

 Определить силу тока, падения напряжений на элементах и построить векторную диаграмму для цепи, схема которой показана на рис. 2.6 а, если известно, что U =120 В, ψu= 0, R = 6 Ом, L = 25,5 мГн, f = 50 Гц.

Решение

Находим:

xL =ωL=2πf L=2∙3,14∙50∙25,5∙10 -3 = 8 Ом;

Z = R + jxL = 6 + j8 = 10е j53° Oм;

İ = Ù/Z = 120/(10е j53°) = 12e -j53° А;

ÙR = R İ = 6∙12e -j53° = 72е -j53° В;

ÙL = jхL İ = 8∙12е -j53° е j90° = 96e j37° В.

 Векторная диаграмма приведена на рис. 2.6 б. Ток в рассматриваемой цепи отстает по фазе от приложенного к ней напряжения на угол φ = 53°.

  а) б)

 Рис. 2.6

Задача 2.7

 Определить силу тока, падения напряжений на элементах и построить векторную диаграмму для цепи, схема которой показана на рис. 2.7 а, если известно, что U = 240 В, ψu = 0, R = 60 Ом, С = 40 мкФ, f = 50 Гц.

Pешение

Находим:

xC  = 1/(ωC) = 1/(2πfC) = 1/(2∙3,14∙50∙40∙10-6) = 80 Ом;

Z = R – jxC = 60 – j80 = 100e –j53° Ом;

İ = Ù/Z = 240/(100e –j53° ) = 2,4 e j53° A;

ÙR = İ R = 60∙2,4 e j53° = 144 e j53° B;

ÙC = -İ jхC = 80∙2,4 e j53° e -j90° = 192 e –j37° B.

Векторная диаграмма приведена на рис. 2.7 б. Ток в рассматриваемой цепи опережает приложенное к ней напряжение на угол φ = 53°.

 а) б)

  Рис. 2.7

Задача 2.8

Определить значение емкости С конденсатора, при котором в цепи рис. 2.8 а. установится резонанс токов. Найти входное сопротивление цепи при резонансе, а также токи ветвей. Построить векторную диаграмму токов. Напряжение сети U =  = 120 В, а параметры цепи R = 3 Ом, XL = 4 Ом.

Решение

  Условием резонанса токов является равенство модулей реактивных проводимостей ветвей: ВL = ВС . Для рассматриваемой схемы

Отсюда

Входное сопротивление цепи можно найти иначе. Так как реактивные проводимости ветвей равны, а активная проводимость второй ветви

то

Ток в неразветвленной части цепи

Токи ветвей:

Проверка:

Из векторной диаграммы, изображенной на рис. 2.8 б, видно, что I2 = I1p, но их векторы направлены противоположно. Комплексный ток в неразветвленной части цепи I = I1a. Вектор тока İ совпадает по направлению с вектором входного напряжения .

Задача 2.9

В сеть напряжением U = 120 В и частотой f  = 50 Гц включена индуктивная катушка с сопротивлением R = 12 Ом и индуктивностью L = 66,2 мГн. Ее последовательная схема замещения изображена на рис. 2.9 а. Определить комплексный ток, значения полной, активной и реактивной мощностей. Построить топографическую диаграмму напряжений, треугольники сопротивлений и мощностей.

 

Рис. 2.9

Решение

 Индуктивное сопротивление катушки: 

Комплексное сопротивление: 

Комплексный ток: 

Комплексная мощность:

откуда P= 300 Вт, Q= 520 вар, S= 600 ВА. Эти мощности могут быть найдены иначе.

Полная мощность:

Активная мощность:  

Реактивная индуктивная мощность:

Напряжение на активном элементе:

Напряжение на индуктивном элементе:

Вектор тока и топографическая диаграмма напряжений построены на рис. 2.9 б, треугольники сопротивлений и мощностей - на рис. 2.9 в.

 


Примеры решения задач по электротехнике