Конспект лекций начертательная геометрия

СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ

Основные задачи, решаемые способом вращения

Задача 1.

Преобразовать прямую общего положения в линию уровня.
На рис. 3.19 представлена анимационная схема, а на рис. 3.20 решение задачи на комплексном чертеже.
Решение. Для того чтобы прямую общего положения 1(l₁,l₂) преобразовать, например, во фронталь, ее необходимо вращать около оси i П₁;
Рис.3.19 (анимация)

1) выбираем две точки А(А₁А₂) и В(В₁В₂), принадлежащие прямой l;
2) проводим ось вращения i(i₁,i₂) перпендикулярно П₁ через точку В(В₁В₂) прямой l(l₁,l₂);
3) при вращении прямой l вокруг оси i точка В прямой останется неподвижной, так как принадлежит оси, а точка А будет вращаться по правилам, рассмотренным выше;
4) угол поворота точки А и ее горизонтальной проекции А₁ определяется так: когда прямая l займет положение l' параллельное П₂, ее горизонтальная проекция l₁ расположится перпендикулярно линиям связи.
Рис. 3.20

Дальнейшие построения ясны из чертежа. Прямая l' (l'₁,l'₂) - искомая.
Для преобразования прямой l общего положения в горизонталь, ее необходимо вращать около оси i, перпендикулярной П₂ и проходящей через какую-либо точку прямой. Решите самостоятельно эту задачу.
Примечания: 1. При вращении прямой вокруг оси i П₁ угол наклона её к плоскости П₂ не изменяется, поэтому горизонтальная проекция отрезка прямой не меняет свое положение, сохраняя начальную величину.
2. При вращении прямой вокруг оси i П₂ угол наклона ее к плоскости П₂ не изменяется, поэтому фронтальная проекция отрезка прямой меняет свое положение, сохраняя начальную величину.
Подумайте, можно ли прямую общего положения вращением около оси iП₁ расположить параллельно П₁, а около оси i П₂ - параллельно П₂.
3адача 2. Преобразовать линию уровня в проецирующую прямую (рис. 3.21).
Решение. 1. Если линия уровня АВ(А₁В₁,А₂В₂) является горизонталью, то ее можно преобразовать вращением около оси i перпендикулярной П₁ во фронтально проецирующую прямую. При вращении горизонтали вокруг оси i она сохраняет параллельность плоскости П₁ и может быть повернута в положение, перпендикулярное П₂. Построение ясно из чертежа.
Рис. 3.21

2. Если линия уровня является фронталью, то ее можно преобразовать в горизонтально проецирующую прямую вращением около оси i перпендикулярной П₂. Подумайте почему. Решите эту задачу
Примечание. Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в линию уровня (см. первую задачу), а затем линию уровня преобразовать в проецирующую (см. вторую задачу). Почему?

3адача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 3.22).
Решение. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость тоже станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линиями уровня (см. задачу 2).
Если плоскость (АВС) вращать вокруг оси i П₁ (рис. 3.22), то горизонталь (АК), принадлежащая плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости П₂ (см. задачу 2), при этом плоскость становится фронтально проецирующей.
Для упрощения построений на комплексном чертеже горизонталь АК(А₁К₁,А₂К₂) и ось вращения i(i₁,i₂) проведены через вершину А треугольника АВС.
Рис. 3.22

Для построения новой горизонтальной проекции А₁В'₁С'₁ треугольника АВС можно воспользоваться одним из следующих соображений:
1) так как угол наклона плоскости треугольника АВС к плоскости П₁ при вращении вокруг оси i П₁ не изменяется, то
А₁В'₁С'₁А₁В₁С₁;
2) величина угла поворота точек В₁ и С₁ равна величине угла поворота горизонтальной проекции горизонтали ( = К₁А₁К'₁). Точка А₁ неподвижна, так как она принадлежит оси вращения. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из чертежа.
Треугольник АВ'С' перпендикулярен П₂ и поэтому его фронтальная проекция
В'₂А₂С'₂ вырождается в прямую линию.
Для того чтобы плоскость преобразовать в горизонтально проецирующую, ее необходимо вращать вокруг оси i П₂, а в качестве вспомогательной линии уровня взять фронталь. Решите зту задачу, исходный чертеж задайте самостоятельно.

3адача 4. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня (рис. 3.23). Если плоскость (АВС) является фронтально проецирующей плоскостью, то ее можно преобразовать в горизонтальную плоскость уровня, вращая вокруг оси i, перпендикулярной плоскости П₁, проведенной через вершину А треугольника АВС.
Рис. 3.23

В то время когда плоскость (АВС) расположится параллельно плоскости П₁ ее фронтальная проекция - прямая (А₂В₂С₂) займет положение (А₂В'₂С'₂), перпендикулярное линиям связи. Величина угла поворота плоскости = С₂A₂C'₂. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из чертежа.
Горизонтально проецирующую плоскость можно преобразовать во фронтальную плоскость уровня, вращая ее вокруг оси i П₁ и проходящей через какую-либо точку плоскости.
Решите эту задачу, исходный чертеж задайте самостоятельно.

Рис. 3.24

Примечание. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в проецирующую плоскость (см. третью задачу), а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня (см. четвертую задачу). Почему?
Преобразование плоскости (АВС) во фронтальную плоскость уровня показано на рис. 3.24.