Конспект лекций начертательная геометрия

СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ

Вращение вокруг линии уровня (совмещение с плоскостью уровня)

Вращение геометрической фигуры вокруг линии уровня (горизонтали или фронтали) производится с целью ее совмещения с плоскостью уровня. Применяется этот способ в основном для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня при решении следующих задач:
1) определение величины плоской фигуры;
2) определение величины плоского угла;
3) построение в заданной плоскости какой-либо фигуры по заданным условиям.
Линия уровня, вокруг которой вращается плоскость общего положения, должна принадлежать этой плоскости. В этом случае вращение плоскости сводится к вращению только одной точки, не принадлежащей оси вращения.
Рассмотрим процесс совмещения точки В с горизонтальной плоскостью уровня путем вращения ее вокруг горизонтали h, принадлежащей этой плоскости (рис. 3.25).
Рис. 3.25

Точка В, вращаясь вокруг горизонтали h, будет описывать окружность, расположенную в плоскости h. Центр O этой окружности является точкой пересечения оси вращения (h) c плоскостью . Радиус окружности равен расстоянию точки В до оси h(| R | = | ОВ |). Так как плоскость перпендикулярна h, а h параллельна П₁, то перпендикулярна П₁, ее горизонтальная проекция вырождается в прямую ₁ h₁. Следовательно, окружность, описываемая точкой В, спроецируется на плоскость П₁ в отрезок прямой, совпадающей с прямой ₁. Проекцией этой окружности на плоскость П₂ будет эллипс, так как плоскости и П₂ не параллельны.
Таким образом, при вращении точки В вокруг горизонтали ее горизонтальная проекция В₁ перемещается по прямой ₁ h₁. Направление перемещения зависит от направления вращения точки В (на рис. 3.25 показано стрелками). В то время, когда точка В совместится с плоскостью и займет одно из положений В' или В", ее горизонтальная проекция В₁ переместившись по прямой ₁ соответственно займет положение В₁ или В"₁. При этом
| OB' | = | OB" | = | O₁B'₁ | = | O₁B"₁ | = | OB | = | R |
Величину радиуса окружности можно определить способом прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике ОВК гипотенуза | ОВ | = | R |, катет | ОК | = | О₁В₁ | (О₁В₁ - горизонтальная проекция радиуса, катет | ВК | равен разности расстояний концевых точек отрезка | ОВ | до плоскости П₁. На комплексном чертеже (рис. 3.26) построения выполняются в следующей последовательности:
Рис. 3.26

1) Через горизонтальную проекцию В₁ точки В проводим прямую
₁ h₁;
2) ₁ h₁ = 0₁ - горизонтальная проекция центра окружности; фронтальная проекция О₂ центра определяется по линии связи
на h₂;
3) [О₁В₁] и [О₂В₂] - соответственно горизонтальная и фронтальная проекции радиуса окружности;
4) способом прямоугольного треугольника (O₁В₁В₀) определяем величину радиуса окружности
(| R | = | О₁в₀);
5) из точки О₁, как из центра, описываем окружность радиуса | R | = | О₁ В₀ | и отмечаем точки В'₁ и В"₁ пересечения ее с прямой ₁;
6) точки В'₁ ив В"₁ являются горизонтальными проекциями соответственно точек В' и В", фронтальные проекции В'₂ и В₂" определяются по линиям связи на прямой ₂.
В случае вращения точки вокруг фронтали и совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня рассуждаем аналогично. Решите самостоятельно эту задачу.
В качестве примера применения рассмотренного способа определим истинную величину треугольника АВС (рис. 3.27).
Рис. 3.27

Если повернуть плоскость треугольника АВС вокруг горизонтали в положение, параллельное плоскости П₁, и построить его новую горизонтальную проекцию, то эта проекция и будет искомой величиной.
1. Проведем в плоскости треугольника АВС горизонталь h(h₁,h₂) через вершину А(А₁,А₂) и отметим точку К(К₁К₂) пересечения ее со стороной ВС(В₁С₁, В₂С₂).
2. Так как точки А и К плоскости треугольника принадлежат оси вращения (горизонтали h), то при вращении плоскости они останутся неподвижными.
3. Таким образом, вращение плоскости треугольника АВС сводится к вращению только одной ее точки, например вершины В, не принадлежащей оси вращения, так как положение плоскости в пространстве определяется тремя точками А, К и В.
4. Вершину В совмещаем с горизонтальной плоскостью , вращая ее вокруг горизонтали h. Все построения на комплексном чертеже аналогичны тем, которые выполнены на рис. 3.26. В результате получим точку В'(В'₁, В'₂.)
5. Три точки А, В' и К определяют новое положение плоскости треугольника АВС, параллельное плоскости П₁.
6. Новое положение С' вершины С определяется как точка пересечения прямой (В'К) с плоскостью ', в которой перемещается точка С. Новая горизонтальная проекция С'₁ точки С' определится как точка пересечения горизонтальной проекции (В₁'К₁) прямой (В'К) с горизонтальной проекцией '₁ плоскости ₁.
7. Треугольник АВ'С' параллелен П₁, следовательно, А₁В₁С₁ABC.
Решите самостоятельно эту задачу вращением плоскости вокруг фронтали.