Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

4.1. Задачи, выражающие отношения между геометрическими фигурами
4.2. Задачи, в которых определяются общие элементы геометрических фигур  
       4.2.1. Определение общих элементов простейших геометрических фигур из условия принадлежности. (Вспомогательные позиционные задачи)
       4.2.2. Первая позиционная задача (построение точек пересечения линии и поверхности)
       4.2.3. Вторая позиционная задача (построение линии пересечения двух поверхностей)
       4.2.4. Способ вспомогательных сфер
       4.2.5. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

Пример.Заданные окружности находятся внутри сопрягающей дуги (внутреннее сопряжение)

Задачи, в которых определяется относительное положение или общие элементы геометрических фигур, называются позиционными. К ним относятся задачи на принадлежность точки и линии поверхности, задачи, выражающие отношения между геометрическими фигурами, задачи на определение общих элементов геометрических фигур.

4.1. ЗАДАЧИ, ВЫРАЖАЮЩИЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФИГУРАМИ

4.1.1. Относительное положение прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.
а. Прямые параллельные
Если прямые a и b параллельны, то их одноименные проекции параллельны, т.е.
а b a1 b1 a2 b2
(рис. 4.1). Для прямых общего положения справедливо и обратное утверждение:
a1 b1 a2 b2 а b
Таким образом, для того, чтобы судить по чертежу о параллельности двух прямых общего положения, достаточно иметь любую пару проекций каждой из них. Несколько иначе обстоит дело в случае, если прямые являются линиями уровня. Линии уровня параллельны, если их проекции на параллельную им плоскость проекций параллельны. Например, горизонтали h и h' (рис. 4.2) параллельны, так как параллельны их проекции h1 и h'1, а профильные прямые (АВ) и (СD)(рис. 4.3) не параллельны, так как их проекции на П3 не параллельны.
pr4_1.JPGРис. 4.1pr4_2.JPGРис. 4.2pr4_3.JPGРис. 4.3

б. Прямые пересекающиеся
Если прямые с и d пересекаются, то точка К их пересечения проецируется в точки К1 и К2 пересечения их одноименных проекций.
Очевидно, что К1 и К2 принадлежат одной линии связи (рис. 4.4 а, б). Справедливо и обратное утверждение: К1 = с1 d1 и K2= c2 d2 c d, если К1 и К2 принадлежат одной линии связи.


в. Прямые скрещивающиеся
Прямые непараллельные и непересекающиеся называются скрещивающимися. Один из возможных вариантов чертежа скрещивающихся прямых показан на рис. 4.5, где l m, так как l не параллельна m и l не пересекается с m.
pr4_5.JPGРис. 4.5

Точка пересечения горизонтальных проекций скрещивающихся прямых является горизонтальной проекцией двух горизонтально конкурирующих точек 1 и 2, принадлежащих прямым l и m. Точка пересечения фронтальных проекций скрещивающихся прямых является фронтальной проекцией двух фронтально конкурирующих точек 3 и 4. По горизонтально конкурирующим точкам 1 и 2 определяется взаимное положение прямых l и m относительно П1. Фронтальная проекция 12 точки 1, принадлежащей прямой l, расположена выше, чем фронтальная проекция 22 точки 2, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, прямая l расположена над прямой m.
По фронтально конкурирующим точкам 3 и 4 определяется взаимное положение прямых l и m относительно фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция 41 точки 4, принадлежащей прямой l, расположена ниже, чем горизонтальная проекция 31 точки 3, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, прямая l расположена перед прямой m.

4.1.2. Относительное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

а. Взаимная параллельность прямой и плоскости
Построение чертежа взаимно параллельных прямой и плоскости основано на теореме стереометрии: если прямая параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, то данные прямая и плоскость параллельны. Пусть требуется через точку М провести прямую, параллельную плоскости Г(АВС). Для этого достаточно провести через точку М прямую l, параллельную какой-либо прямой, принадлежащей плоскости треугольника АВС. На чертеже (рис. 4.6) через точку М проведена прямая 1, параллельная CK: l11К1) и l22К2).
pr4_6.JPGРис. 4.6pr4_7.JPGРис. 4.7

Обратная задача - построение плоскости, параллельной данной прямой - выполняется на основании той же теоремы стереометрии. Плоскость Г(l' m) параллельна прямой l (рис. 4.7), так как l' Г и l l'. Обе задачи, очевидно, имеют бесчисленное множество решений.

б. Взаимная параллельность двух плоскостей
Построение чертежа двух параллельных плоскостей основано на теореме стереометрии: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, чтобы построить плоскость Г', параллельную плоскости Г(АВС), достаточно провести через точку М две прямые, соответственно параллельные каким-нибудь двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости Г, например сторонам (АВ) и (ВС) (рис. 4.8).
pr4_8.JPGРис. 4.8

Плоскость Г'(а b) параллельна плоскости Г(АВС), так как а (АВ) и b (ВС). Можно задать новую плоскость какими-нибудь другими пересекающимися прямыми, например горизонталью и фронталью, соответственно параллельными горизонтали и фронтали плоскости Г(АВС). Такая плоскость на рис. 4.8 проведена через точку N - плоскость (h' f') параллельна плоскости Г(АВС), так как h' h и f' f.

4.1.3. Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости

Признаки перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей рассматриваются в стереометрии. Напомним некоторые из них:
1) две прямые называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90o;
2) если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, принадлежащих плоскости, то эта прямая и плоскость взаимно перпендикулярны (рис. 4.9 а);
3) прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна к любой прямой, принадлежащей этой плоскости (рис. 4.9 б);
4) если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости (рис. 4.9 в).
pr4_9.JPGРис. 4.9

На основании указанных признаков в пространстве начертательная геометрия разработала соответствующие признаки для комплексного чертежа.

Проекции прямого угла

Любой линейный угол (острый, тупой, прямой) проецируется на плоскость проекций в истинную величину, если его стороны параллельны этой плоскости. При этом вторая проекция угла вырождается в прямую линию, перпендикулярную линиям связи.
Кроме того, прямой угол проецируется в истинную величину еще и тогда, когда только одна из его сторон параллельна плоскости проекций.
Теорема 1.
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая является прямой общего положения, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения, т. е. в прямой же угол.
Пусть стороны (АВ) и (ВС) прямого угла АВС параллельны горизонтальной плоскости проекций П1 (рис. 4.10). Тогда на П1
< ABC < A1B1C1 и < A1B1C1 = 90o
pr4_10.JPGРис. 4.10

Сторона (АВ) и ее горизонтальная проекция (А1В1) располагаются в горизонтально проецирующей плоскости (1). Сторона (ВС) , так как (ВС) (АВ) по условию и (ВС) (ВВ1) по построению. Следовательно, прямая (ВС) перпендикулярна к любой прямой (пересекающейся или скрещивающейся с ней), принадлежащей плоскости , например: (ВС) (ВD), (ВС) (МN) и т. п. (прямые (ВD), (МN), ... общего положения). Очевидно, что проекция на плоскость П1 прямого угла, образованного прямой (ВС) с любой прямой общего положения, например (ВD), принадлежащей плоскости , совпадает с проекцией А1В1С1 угла АВС. Таким образом, теорема доказана.
Прямой угол DВС на плоскость П2 проецируется в искаженную величину, так как по отношению к ней условия теоремы не выполняются. Если сторона (ВD) прямого угла DВС займет положение, перпендикулярное плоскости П1, то проекция угла на эту плоскость выродится в прямую линию, а на две другие плоскости проекций прямой угол спроецируется без искажения.
pr4_11.JPGРис. 4.11

Проекции прямого угла DВС, сторона (ВС) которого параллельна плоскости П1, изображены на рис. 4.11, а. На чертеже (рис. 4.11, б) показаны проекции взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых, одна из которых является горизонталью. На чертеже (рис. 4.12, а) показаны проекции прямого угла DВС, сторона (ВС) которого параллельна плоскости П2. Проекции взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых, одна из которых является фронталью, изображены на чертеже (рис. 4.12, 6).
pr4_12.JPGРис. 4.12

Прямая, перпендикулярная к плоскости

На вопрос о том, как располагаются на комплексном чертеже проекции перпендикуляра к какой-либо плоскости, отвечает следующая теорема.
Теорема 2. Если прямая перпендикулярна к плоскости в пространстве, то на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, принадлежащим этой плоскости.
Пусть прямая (АК) перпендикулярна к плоскости общего положения (рис. 4.13). Проведем в плоскости произвольные горизонталь h и фронталь f. Так как перпендикуляр к плоскости образует прямые углы со всеми прямыми, принадлежащими плоскости, то (АК) h и (АК) f.
pr4_13.JPGРис. 4.13

На основании теоремы 1:
1) прямой угол АКh проецируется на плоскость П1 без искажения, т. е.
2К2) h, так как h П1;
2) прямой угол АКf проецируется на плоскость П2 без искажения, т. е.
2К2) f2, тах как f П2.
Напомним, что все горизонтали, принадлежащие одной и той же плоскости, параллельны между собой, а все фронтали между собой. Поэтому для построения проекций перпендикуляра к плоскости можно воспользоваться любыми горизонталью и фронталью, принадлежащими плоскости.

На основании первой и второй теорем решаются следующие основные задачи.
1. Опустить перпендикуляр из точки А на плоскость b).
Решение дано на чертеже (рис. 4.14). В плоскости b) построены горизонталь h(h1,h2) и фронталь
f(f1,f2). Проекции искомого перпендикуляра n проведены через соответствующие проекции А1 и А2 заданной точки А так, что n1h1 и n2 f2. Точка пересечения перпендикуляра n с плоскостью в этой задаче не определялась.
pr4_14.JPGРис. 4.14

2. Восставить перпендикуляр к плоскости (АВС) в точке В, принадлежащей плоскости.
Решение задачи аналогично решению предыдущей (прямая m на рис. 4.14).
3. Через точку А провести плоскость Г, перпендикулярную прямой l общего положения.
Для решения задачи достаточно провести через точку А две прямые, каждая из которых была бы перпендикулярна прямой l. В качестве таких прямых необходимо взять горизонталь и фронталь, так как их проекции легко построить на основании теоремы 1.
pr4_15.JPGРис. 4.15

На чертеже (рис. 4.15) через точку А(А1А2) проведена горизонталь h l и фронталь f l.
Плоскость (h f) l является искомой. Точка пересечения прямой l с плоскостью в задаче не определялась.

Линии наибольшего наклона

Прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные горизонталям, фронталям или профильным прямым этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона.
На рис. 4.16, а прямая ВD h является линией наибольшего наклона плоскости к плоскости П1. Из всех прямых, принадлежащих плоскости, она образует наибольший угол с плоскостью П1 (если ВD f, то с П2); если BD p, то с П3). Поэтому угол на рис. 4.16, а является линейным углом двугранного угла, образуемого плоскостями и П1.
pr4_16.JPGРис. 4.16

На рис. 4.16, б, в построены проекции линий наибольшего наклона плоскости (АВС) соответственно к плоскостям П1 и П2.
Построение проекций основано на теореме 1.
Величину угла можно определить, например, способом прямоугольного треугольника.
Плоскость на чертеже можно задать проекциями одной из принадлежащих ей линий наибольшего наклона. Подумайте, почему одна линия наибольшего наклона однозначно определяет положение плоскости в пространстве?

Частные случаи

1. Прямая, перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости П (П1) (рис. 4.17), является горизонталью и на комплексном чертеже:

pr4_17.JPGРис. 4.17

    1) h11; h2 (A1,A2);
    2) К(К1К2) = h ;
    3) | А1К1 | = | АК | - расстояние от точки А до плоскости .
2. Прямая, перпендикулярная фронтально проецирующей плоскости (1) (рис. 4.18), является фронталью и на комплексном чертеже:

pr4_18.JPGРис. 4.18

    1) f1 (A1,A2); f22;
    2) К(К12) = f ;
    3) | А2К2 | = | АК | - расстояние от точки А до плоскости .
3. Прямая, перпендикулярная горизонтальной или фронтальной плоскости уровня, является соответственно горизонтально или фронтально проецирующей прямой.

Взаимно перпендикулярные прямые общего положения

Если стороны прямого угла являются прямыми общего положения, то прямой угол на каждую из трех плоскостей проекций (П12, и П3) проецируется с искажением (частные случаи рассмотрены в начале главы). При построении проекций такого угла следует исходить из следующих положений:
1) если две прямые взаимно перпендикулярны, то через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой;
2) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.
Таким образом, построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения в конечном счете сводится к построению плоскости, перпендикулярной к заданной прямой общего положения.
Рассмотрим решения некоторых задач.
1. Построить прямую a, перпендикулярную заданной прямой n общего положения.
pr4_19.JPGРис. 4.19

Чтобы построить прямую, перпендикулярную к данной прямой, необходимо провести плоскость, перпендикулярную к этой прямой, и в этой плоскости провести любую прямую.
Решение задачи дано на чертеже (рис. 4.19). Через произвольную точку А пространства проведена плоскость (h f) n, и в этой плоскости построена произвольная прямая а(а1, а2). Прямая а n, так как а n.
2. Из точки А опустить перпендикуляр на прямую b общего положения.
Решение задачи дано на чертеже (рис. 4.20).
pr4_20.JPGРис. 4.20

Искомая прямая (АК) b является результатом пересечения двух плоскостей: плоскости b, проходящей через точку А, и плоскости , проходящей через прямую b и точку А. Задача относится к числу комплексных, подробное объяснение ее решения дано в разделе "Комплексные задачи".

Взаимно перпендикулярные плоскости

Если плоскость проходит через прямую линию, перпендикулярную к другой плоскости (или параллельна этой прямой), то она перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, плоскость , перпендикулярную данной плоскости , можно построить:
    1) либо как плоскость, проходящую через прямую, перпендикулярную плоскости ;
    2) либо как плоскость, перпендикулярную одной из прямых, принадлежащих плоскости .
В обоих случаях задача имеет бесчисленное множество решений, если на плоскость не наложено каких-либо дополнительных условий.
pr4_21.JPGРис. 4.21

На чертеже (рис. 4.21) плоскость (m n) b) проведена через прямую m(m1,m2), перпендикулярную плоскости b).
Прямая n(n1,n2), пересекающая прямую m в точке М, выбрана произвольно.
Примечание. Если требуется провести плоскость , перпендикулярную данной плоскости b) и проходящую через заданную прямую n(n1,n2), то плоскость является единственным решением.
На чертеже (рис. 4.22) плоскость (h b) (a b) проведена перпендикулярно прямой b(b1,b2), принадлежащей плоскости , и задана поэтому горизонталью h[h1 b1, h21М2)] и фронталью f[f11М1), f2 b2].
pr4_22.JPGРис. 4.22

Примечания: 1. Если плоскость (h f) провести перпендикулярно горизонтали, принадлежащей плоскости b), то плоскость расположится перпендикулярно к плоскостям и П1 т. е. будет горизонтально проецирующей.
2. Если плоскость (h f) провести перпендикулярно фронтали, принадлежащей плоскости b), то плоскость расположится перпендикулярно к плоскостям и П2, т. е. будет фронтально проецирующей.
Плоскость, перпендикулярная одновременно двум заданным плоскостям, может быть построена:
1) либо как плоскость, перпендикулярная линии их пересечения;
2) либо как плоскость, проходящая через перпендикуляры к ним, построенные из одной точки пространства.


[назад]     [предыдущая глава] [следующий подраздел] [следующая глава]

Инженерная графика Курс лекций. Черчение, чертежи