Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Прямая линия, касательная к какой-либо кривой линии, принадлежащей поверхности, является касательной и к поверхности. Через любую точку поверхности можно провести множество кривых, а, следовательно, и множество касательных прямых. В дифференциальной геометрии доказывается, что все эти касательные прямые располагаются в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке (рис. 8.1, a).

Рис.8.1 Для того, чтобы изготовить детали и собрать из них сборочную единицу, необходимо тщательно разработать конструкторскую документацию. Она должна однозначно определять, что должно быть изготовлено: наименование изделия, величина, форма, внешний вид, материалы, способы изготовления и др.

Таким образом, касательная плоскость к поверхности есть множество всех касательных, проведенных к поверхности через одну и ту же точку. Положение плоскости в пространстве определяется двумя пересекающимися прямыми, поэтому для построения касательной плоскости к поверхности в заданной точке достаточно построить касательные к двум кривым линиям, проходящим через эту точку. В качестве таких кривых выбирают наиболее простые линии поверхности. Если данная поверхность является линейчатой, то за одну из таких кривых целесообразно взять прямолинейную образующую (касательная к прямой линии есть сама прямая).

Рис.8.2 Рис.8.3 Фронтально проецирующая плоскость Начертательная геометрия

Перпендикуляр, восставленный к касательной плоскости в точке ее касания с поверхностью, называется нормалью к поверхности. Касательная плоскость может иметь с поверхностью одну общую точку и располагаться по одну сторону от нее. Такие точки поверхности называются эллиптическими (рис. 8.5, а). Примерами поверхностей, все точки которых эллиптические, являются сфера, эллипсоид вращения и др.

Рис.8.4

Касательная плоскость к поверхности в некоторой ее точке может пересекать поверхность (рис. 8.5) по прямым или кривым линиям. Такие точки поверхности называются гиперболическими. Примерами поверхностей, имеющих гиперболические точки, могут служить однополостный гиперболоид, тор и др.
Касательная плоскость может иметь с поверхностью общую линию - прямую или кривую (рис. 8.1, в). Точки кривой поверхности, принадлежащие линии касания, называются параболическими .

Рис.8.5

Примерами поверхностей, все точки которых параболические, являются цилиндрические, конические поверхности и торсы.
Поверхность тора содержит все три вида точек.
На рис. 8.2, 8.3, 8.4 приведены примеры построения касательных плоскостей к некоторым кривым поверхностям.
Плоскость Г(l l') касается сферы в точке K (рис. 8.1, б); плоскость (l l') касается конуса по прямой [CS] (рис. 8.1в); плоскость Т П₂ касается тора в точке М и пересекает его по лемнискате, плоскость касается тора по окружности l
(рис. 8.5).