Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

 

1.Двойной интеграл. Его основные свойства и приложения

Мы будем рассматривать функции , определенные на квадрируемом (т.е. имеющем площадь) множестве . Если вспомнить теорию определенного интеграла, то мы начинали ее изложение с понятия разбиения отрезка . По аналогии, определим разбиение квадрируемого множества , как представление множества в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, .

(Практически всегда представляет собой криволинейную трапецию или конечное объединение криволинейных трапеций. Можно считать, что и разбиение на части определяется с помощью непрерывных кривых, т.е. все - также криволинейные трапеции или их конечные объединения).

В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения . В двумерном случае обобщение понятия длины будет площадь . Однако нам потребуется также и понятие диаметра. Эта величина определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества .

Определим диаметр разбиения как наибольший из диаметров частей этого разбиения.

Далее, как и в одномерном случае, выберем точки (было: ). Пусть имеет координаты . Важную роль в дальнейшем будет играть понятие интегральной суммы. Так же, как в одномерном случае, эта величина имеет простой геометрический смысл. Интегральная сумма равна объему тела, состоящего из цилиндров с высотой (для простоты считаем, что ) и основаниями - .

Определение. Пусть - ограниченная на квадрируемом множестве функция. Пусть . Если , то будем говорить, что - интегрируемая на функция и .

Замечание. Это определение несколько отличается от одномерного, в котором отсутствовало требование ограниченности функции . Мы тогда доказывали необходимое условие интегрируемости: еслиинтегрируема на, тоограниченна на.

В двумерном случае мы накладывали это требование для того, чтобы избежать ненужных сложностей.

Критерий существования формировался в терминах сумм Дарбу вида , где , т.е. - нижняя грань, а - верхняя грань значений при .

Аналогично, обозначим, для ограниченной на функции , (эти числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности на и, значит, на всех ) и определим суммы Дарбу равенствами . Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями и высотами, соответственно . Ясно, что при любом выборе .

Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий интегрируемости.

Теорема. Ограниченная интегрируема на квадрируемом

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема. Если непрерывна на квадрируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Свойства двойных интегралов

Свойство 1. Если - интегрируемые на функции, а - числа, то . Иными словами,интеграл – линейный функционал.

Свойство 2. Если - интегрируема на , причем если площадь пересечения равна 0, то .

Свойство 3. Если - интегрируемая на функция и , то .

Свойство 4. Если - интегрируемые на и , то .

Свойство 5. Если - интегрируемая на функция, то - также интегрируемая, причем .

Свойство 6. Если - интегрируемая на функция, причем , где - ограничивающие множество значений числа, то ( - площадь), т.е. : . Если, кроме того, - непрерывна на , то .

Доказывать эти свойства мы не будем – они вполне аналогичны свойствам обычного интеграла.

Можно доказать, что если - непрерывная на функция, то - интегрируема на .

Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы на лишь вдоль конечного числа непрерывных линий, разбивающих на квадрируемые области, то - интегрируема на , т.к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям (где - непрерывна и, значит, интегрируема).