|
| ||
|
|
||
|
| ||
|
|
| |
1.Двойной интеграл. Его основные свойства и приложения
Мы
будем рассматривать функции 
,
определенные на квадрируемом (т.е. имеющем площадь) множестве 
.
Если вспомнить теорию определенного интеграла, то мы начинали ее изложение с понятия
разбиения 
отрезка
. По аналогии,
определим разбиение квадрируемого
множества ,
как представление множества в
виде объединения конечного числа квадрируемых частей, 
.
(Практически
всегда представляет
собой криволинейную трапецию или конечное объединение криволинейных трапеций.
Можно считать, что и разбиение на
части 
определяется
с помощью непрерывных кривых, т.е. все 
-
также криволинейные трапеции или их конечные объединения).
В
одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения 
.
В двумерном случае обобщение понятия длины 
будет
площадь 
.
Однако нам потребуется также и понятие диаметра
.
Эта величина определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества
.
Определим
диаметр 
разбиения
как наибольший
из диаметров 
частей
этого разбиения.
Далее, как и в одномерном
случае, выберем точки 
(было:
). Пусть 
имеет
координаты 
.
Важную роль в дальнейшем будет играть понятие интегральной суммы
.
Так же, как в одномерном случае, эта величина имеет простой геометрический смысл.
Интегральная сумма 
равна
объему тела, состоящего из цилиндров с высотой 
(для
простоты считаем, что 
)
и основаниями - 
.
Определение.
Пусть - ограниченная
на квадрируемом множестве функция.
Пусть 
. Если
,
то будем говорить, что 
-
интегрируемая на функция
и 
.
Замечание.
Это определение несколько отличается от одномерного, в котором отсутствовало требование
ограниченности функции 
.
Мы тогда доказывали необходимое условие интегрируемости: еслиинтегрируема
на
,
тоограниченна
на.
В двумерном случае мы накладывали это требование для того, чтобы избежать ненужных сложностей.
Критерий существования 
формировался
в терминах сумм Дарбу вида 
,
где 
, т.е.
- нижняя грань,
а 
- верхняя
грань значений при
.
Аналогично,
обозначим, для ограниченной на функции
,
(эти
числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности на
и, значит, на
всех ) и определим
суммы Дарбу равенствами 
.
Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями
и высотами,
соответственно 
.
Ясно, что при любом выборе 
.
Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий интегрируемости.
Теорема.
Ограниченная 
интегрируема
на квадрируемом 
(На экзамене ограничиваемся формулировкой).
Из этого критерия следует теорема.
Теорема.
Если непрерывна
на квадрируемом множестве 
,
то интегрируема
на этом множестве.
(На экзамене достаточно формулировки).
Свойства двойных интегралов
Свойство
1. Если 
-
интегрируемые на 
функции,
а 
- числа,
то 
. Иными
словами,интеграл – линейный функционал.
Свойство
2. Если 
-
интегрируема на 
,
причем если площадь пересечения 
равна
0, то 
.
Свойство
3. Если -
интегрируемая на 
функция
и 
, то 
.
Свойство
4. Если -
интегрируемые на и
, то 
.
Свойство
5. Если -
интегрируемая на функция,
то 
- также
интегрируемая, причем 
.
Свойство
6. Если -
интегрируемая на функция,
причем 
, где
- ограничивающие
множество значений 
числа,
то 
(
- площадь
),
т.е. 
:
.
Если, кроме того, -
непрерывна на ,
то 
.
Доказывать эти свойства мы не будем – они вполне аналогичны свойствам обычного интеграла.
Можно
доказать, что если -
непрерывная на функция,
то - интегрируема
на .
Свойство
2 позволяет утверждать, что если имеет
разрывы на лишь
вдоль конечного числа непрерывных линий, разбивающих на
квадрируемые области, то -
интегрируема на ,
т.к., по свойству 2, интеграл по есть
просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям 
(где
- непрерывна
и, значит, интегрируема).
| |
|
|
||||||||
|
|
||||||||