|
| ||
|
|
||
|
| ||
|
|
| |
10.Признак полного дифференциала на плоскости
Если
- дифференцируемая
функция двух переменных, то 
.
Выясним, при каких условиях на 
существует
такая функция 
,
что 
, т.е.
. В предположении
непрерывности смешанных производных: 
или
. Докажем,
что если 
-
односвязная область, то верно и обратное.
Теорема
3. Если в
односвязной области ,
то существует 
такая,
что 
.
Доказательство.
Возьмем произвольную точку 
и
рассмотрим переменную точку 
и
любую кривую 
,
соединяющую 
с
.
По
следствию теоремы 2, 
зависит
только от конечной точки и,
значит, есть некоторая функция .
Покажем, что -
искомая функция, т.е. .
Для этого рассмотрим точку 
и
рассмотрим 
,
где 
- отрезок
прямой, соединяющей точки 
.
На этом отрезке 
и
. Применяя
теорему о среднем, получаем (ввиду непрерывности 
),
что 
,
где 
. Тогда
.
.
Для 
доказательство
аналогичное.
Замечание.
Если векторное поле 
обладает
свойством в
односвязной области ,
то говорят, что 
-
потенциальное поле и найденная функция 
такая,
что , т.е.
, называется
потенциалом поля .
Следствие.
В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого контура равна 0. Вообще, если
соединяет
, то работа
вдоль равна
.
Т.е. работа равна разности потенциалов.
Примечание. Условие односвязности существенно.
Например,
если область 
не
содержит начала координат, то 
.
Действительно,
,
.
Т.о.
условие выполнено
во всей области (которая
не содержит точки 
).
С
другой стороны, пусть содержит
. Рассмотрим
- окружность
радиуса 
,
содержащуюся в .
Параметризуем эту окружность: 
.
Тогда 
.
Это связано с тем, что область, в которой непрерывны 
многосвязная.
| |