Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

10.Признак полного дифференциала на плоскости

Если - дифференцируемая функция двух переменных, то . Выясним, при каких условиях на существует такая функция , что , т.е. . В предположении непрерывности смешанных производных: или . Докажем, что если - односвязная область, то верно и обратное.

Теорема 3. Если в односвязной области , то существует такая, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим переменную точку и любую кривую , соединяющую с .

По следствию теоремы 2, зависит только от конечной точки и, значит, есть некоторая функция . Покажем, что - искомая функция, т.е. . Для этого рассмотрим точку и рассмотрим , где - отрезок прямой, соединяющей точки . На этом отрезке и . Применяя теорему о среднем, получаем (ввиду непрерывности ), что , где . Тогда . . Для доказательство аналогичное.

Замечание. Если векторное поле обладает свойством в односвязной области , то говорят, что - потенциальное поле и найденная функция такая, что , т.е. , называется потенциалом поля .

Следствие. В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого контура равна 0. Вообще, если соединяет , то работа вдоль равна . Т.е. работа равна разности потенциалов.

Примечание. Условие односвязности существенно.

Например, если область не содержит начала координат, то . Действительно,

, .

Т.о. условие выполнено во всей области (которая не содержит точки ).

С другой стороны, пусть содержит . Рассмотрим - окружность радиуса , содержащуюся в . Параметризуем эту окружность: . Тогда . Это связано с тем, что область, в которой непрерывны многосвязная.