Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

12.Интегралы по поверхности 1 и 2 рода

Поверхностные интегралы 1-го рода. Пусть - двусторонняя поверхность, имеющая площадь . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части с помощью непрерывных кривых. Пусть функция определена во всех точках поверхности . Выберем произвольным образом точки и рассмотрим сумму .

Определение. Пусть . Если , то мы говорим, что есть поверхностный интеграл 1-го типа от функции по поверхности и обозначаем это следующим образом: .

Отметим, что в определении интеграла первого типа сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности , поверхностная плотность которой в точке равна .

Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие формулы.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференцируемая на квадрируемой областифункция, . Тогда для любой непрерывной на поверхности функции .

Замачание 1. Если поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, то . Аналогично, в случае задания поверхности уравнением при аналогичных условиях на область и функцию .

Теорема 2. Если поверхность задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции на . Пусть непрерывна на . Тогда .

Теоремы 1 и 2 мы оставим без доказательства.

Вместо этого приведем пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.

Задача. Найти , где - граница тела .

Решение. Это тело представляет собой конус. состоит из боковой поверхности и основания . На боковой поверхности, уравнение которой всюду, кроме точки и и .

Нарушение этой формулы в единственной точке не повлияет на результат, поэтому , где - проекция на плоскость , т.е. - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам: ( - якобиан преобразования) .

Основание задано уравнением , поэтому и (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

Поверхностные интегралы 2-го рода.

Пусть двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .

Для вычисления поверхностного интеграла 2-го типа используются следующие правила.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференщируемая в области функция, - непрерывная на функция. Тогда если выбрана верхняя сторона , то , а если выбрана нижняя сторона, то .

Аналогично, если задана уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция на , то , если нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Если же , - непрерывно дифференцируемая на функция, а непрерывна на , то , если выбранная нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Теорема сформулирована без доказательства.

Следствие 1. Если поверхность допускает представление как в виде , так и в виде и в виде , то при условиях теоремы 1 , где выбор знака + или – перед соответствующим слагаемым в правой части равенства определяется тем, какой угол составляют нормали к выбранной стороне с соответствующей осью.

Следствие 2. Если представляет собой конечное объединение непересекающихся поверхностей, , каждая из которых удовлетворяет условиям следствия 1, то и для вычисления используется следствие 1.

Теорема 2. Пусть двусторонняя поверхность задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции и .

Тогда для непрерывным на функций и выбранной нормали , где, напоминаем, , , . При этом выбор знака "+" или "-" перед интегралом производится в соответствии с выбором нормали (и, следовательно, стороны) поверхности. К примеру, если указано, что нормаль составляет с осью острый угол, то знак перед интегралом совпадает со знаком .

Теорема 2 также дана без доказательства.

Пример. Приведем пример вычисления поверхностного интеграла 2-го типа , где- внешняя сторона сферы . Обозначим . Из соображений симметрии очевидны равенства , так что . Поверхность состоит из частей и , задаваемых уравнениями (это - верхняя полусфера) и (это уравнение для нижней полусферы ). На внешняя нормаль составляет с осью острый угол, на - тупой.

Поэтому . Аналогично, т.к. на , а нормаль составляет с осью тупой угол, . Значит, . Поэтому .