|
| ||
|
|
||
|
| ||
|
|
| |
13.Формула Остроградского. Ее векторная запись
Теорема.
Пусть 
-
замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело 
в
пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона .
Пусть 
-
функции, имеющие непрерывные производные на .
Тогда 
.
Равносильная формулировка: 
,
где 
-
внешняя
нормаль к .
Доказательство.
Предположим, что 
ограничено
сверху 
-
графиком функции 
,
снизу 
-
, 
,
а сбоку – цилиндрической поверхностью 
.
Вычислим
,
т.к. на 
внешняя
нормаль составляет с осью 
тупой
угол.
Далее, на 
и
можно добавить к сумме слагаемое 
.
Итак,
.
Далее,
если поверхность можно
представить в виде объединения поверхностей 
и
цилиндрической поверхности, то 
,и,
при аналогичных условиях, 
.
Поэтому,
если поверхность удовлетворяет
условиям всех трех случаев, то 
.
Теперь
предположим, что 
состоит
из конечного числа тел 
,
разделенных гладкими поверхностями 
,
причем эти тела 
удовлетворяют
сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть 
.
Тогда
. Каждый
из интегралов 
преобразуем
по формуле Остроградского-Гаусса как 
,
где взяты внешние стороны поверхностей 
.
Поверхности
имеют общую
часть 
,
причем их внешние нормали на противоположны
и интегралы по от
взаимно
сократятся, поэтому 
.
Тем самым, теорема доказана.
Векторная запись формулы Остроградского.
Вспомним формулировку теоремы Остроградского-Гаусса: 
,
где 
- непрерывно
дифференцируемое векторное поле, 
-
замкнутая поверхность, ограничивающая объем 
и
- вектор
внешней нормали.
Левая часть формулы имеет вид 
,
т.е. представляет собой поток 
через
внешнюю сторону ,
а правую часть можно выразить следующим образом: 
.
Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:
При
сформулированных выше условиях 
.
| |