|
| ||
|
|
||
|
| ||
|
|
| |
2.Вычисление двойного интеграла
Теорема
(Фубини). Пусть 
непрерывна
в области 
,
ограниченной сверху графиком функции 
,
снизу - 
,
,
а по бокам – отрезками вертикальных прямых 
и
. Тогда 
.
Без доказательства.
Замечание.
Если область 
можно
ограничить так: 
,
то 
.
Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для нас объекта – двойного интеграла к уже изученным обычным интегралам.
При вычислении интегралов часто бывает
удобно сделать замену переменных 
,
где 
- непрерывны
в некоторой области 
.
Впоследствии мы будем часто писать просто 
вместо
и т.п. и,
кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что 
и
- непрерывно
дифференцируемые в 
функции.
Пусть
при этом формулы задают
взаимно-однозначное отображение областей: 
.
Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области
не
равнялся 0.
Теорема.
При сформулированных выше условиях для непрерывной на 
функции
.
Строгое
доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических
деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке
теоремы существуют, поскольку -
непрерывная функция.
Рассмотрим разбиение
области прямыми,
параллельными осям 
.
Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами 
.
При
отображении эти
точки перейдут, соответственно, в точки 
.
Далее,
при 
При
малых 
производные
, вычисленные
в точках 
,
мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке 
,
поэтому 
мало
отличаются от 
и
, соответственно,
и рассматриваемый четырехугольник представляет собой "почти параллелограмм".
Площади
параллелограмма со сторонами 
равна
модулю определителя 
,
т.е. равна 
.
Поэтому
при преобразовании интегральная сумма 
близка
к интегральной сумме 
и
т.к. соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой
частях доказываемого равенства мало отличаются друг от друга, то и интегралы совпадают.
Замечание.
Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения
нарушится
на множестве нулевой площади.
| |