header ("Last-Modified: ".gmdate("D, d M Y H:i:s")." GMT +0200"); ?>
|
| ||
|
|
||
|
| ||
|
|
2.Вычисление двойного интеграла
Теорема
(Фубини). Пусть
непрерывна
в области
,
ограниченной сверху графиком функции
,
снизу -
,
,
а по бокам – отрезками вертикальных прямых
и
. Тогда
.
Без доказательства.
Замечание.
Если область
можно
ограничить так:
,
то
.
Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для нас объекта – двойного интеграла к уже изученным обычным интегралам.
При вычислении интегралов часто бывает
удобно сделать замену переменных
,
где
- непрерывны
в некоторой области
.
Впоследствии мы будем часто писать просто
вместо
и т.п. и,
кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что
и
- непрерывно
дифференцируемые в
функции.
Пусть
при этом формулы
задают
взаимно-однозначное отображение областей:
.
Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области
не
равнялся 0.
Теорема.
При сформулированных выше условиях для непрерывной на
функции
![]()
.
Строгое
доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических
деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке
теоремы существуют, поскольку
-
непрерывная функция.
Рассмотрим разбиение
области
прямыми,
параллельными осям
.
Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами
.
При
отображении
эти
точки перейдут, соответственно, в точки ![]()
.
Далее,
при ![]()

При
малых
производные
, вычисленные
в точках
,
мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке
,
поэтому
мало
отличаются от
и
, соответственно,
и рассматриваемый четырехугольник представляет собой "почти параллелограмм".
Площади
параллелограмма со сторонами
равна
модулю определителя
,
т.е. равна
.
Поэтому
при преобразовании интегральная сумма
близка
к интегральной сумме
и
т.к. соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой
частях доказываемого равенства мало отличаются друг от друга, то и интегралы совпадают.
Замечание.
Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения
нарушится
на множестве нулевой площади.