Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

 

2.Вычисление двойного интеграла

Теорема (Фубини). Пусть непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции , снизу - , , а по бокам – отрезками вертикальных прямых и . Тогда .

Без доказательства.

Замечание. Если область можно ограничить так: , то .

Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для нас объекта – двойного интеграла к уже изученным обычным интегралам.

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных , где - непрерывны в некоторой области . Впоследствии мы будем часто писать просто вместо и т.п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что и - непрерывно дифференцируемые в функции.

Пусть при этом формулы задают взаимно-однозначное отображение областей: . Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области не равнялся 0.

Теорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции .

Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку - непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области прямыми, параллельными осям . Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами .

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки .

Далее, при

При малых производные , вычисленные в точках , мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке , поэтому мало отличаются от и , соответственно, и рассматриваемый четырехугольник представляет собой "почти параллелограмм".

Площади параллелограмма со сторонами равна модулю определителя , т.е. равна .

Поэтому при преобразовании интегральная сумма близка к интегральной сумме и т.к. соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства мало отличаются друг от друга, то и интегралы совпадают.

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.
Интернет MAMAzin детских товаров - автокресло купить . Нужно автокресло Chicco? ;Конкурс: портфолио за 999 руб: фотостудии москвы . Услуги фотографа.