header ("Last-Modified: ".gmdate("D, d M Y H:i:s")." GMT +0200"); ?>
8.Формула Грина
Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.
Теорема
1. Пусть G - криволинейная
трапеция:
,
где
- непрерывные
на
функции,
L - граница области G
и направление обхода L выбрано так,
что область G остается слева.
Пусть
. Тогда
.
Знак
означает,
что контур интегрирования L - замкнутый.
Доказательство.
Вычислим
.
При
каждом фиксированном
величина
определяется,
как производная по y функции от одной
переменной y, P(x,y).
Поэтому при каждом x применима формула
Ньютона-Лейбница, согласно которой
.
Поэтому
.
Разобъем кривую L на 4 участка.
.

.
Поэтому

.
Теорема
2. Пусть G
- криволинейная трапеция
,
где
- непрерывные
на
функции,
L - граница G,
а направление обхода L выбрано так,
что G остается слева.
Пусть
.
Тогда
.
Доказательство.

.
Теорема доказана.
Следствие
1. Если область G можно представить
как в виде трапеции
,
где
- непрерывно
дифференцируемые на
функции,
так и в виде
,
где
- непрерывно
дифференцируемые на
функции,
L - граница G,
причем при ее обходе область G остается
слева, то
.
Примечание.
Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг
, ограниченный
окружностью
,
можно задать так:
,
а можно и так:
.
Следствие
2. Если область G
можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия
1 и L - граница G,
причем направление обхода выбрано так, что область G
остается слева, и P и Q
удовлетворяют перечисленным выше условиям, то
.
Доказательство.
Ограничимся случаем, когда область G
разбивается на 2 части
,
удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой
.
Пусть
ограничивает
, а
ограничивает
. Тогда![]()
,
поскольку
-
это часть L и кривая
,
а
- остаток
L и кривая
,
но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим
добавленным участкам сократятся).
Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.
|
|
||||||||
|
|
||||||||