Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

9.Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости

Пусть область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром , лежащем в ограничиваемая контуром область также целиком содержится в .

Пример односвязной области: круг.

Пример неодносвязной области: круг с выколотой точкой. содержит выколотую точку, а - нет, следовательно не входит в целиком.

Теорема 1. Пусть - односвязная область, . Условие, что равносильно тому, что всюду в этой области .

Доказательство.

  1. . Если всюду в выполнено равенство , то по формуле Грина .
  2. . Предположим, что в области есть точка , в которой . Пусть, для определенности, . Тогда существует окрестность точки , в которой значения больше, чем . Выберем в этой окрестности окружность радиуса и рассмотрим

.

По формуле Грина . Это противоречит предположению о том, что должен быть равен 0.

Определение. Пусть - область, , - контур. Будем говорить, что не зависит от формы пути в, если - контуров с началом в точке и концом в точке , .

Теорема 2. Пусть - область. Условие независимости от формы пути в равносильно тому, что для любого замкнутого контура .

Доказательство.

  1. (). Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть - замкнутый контур в . Выберем на две произвольные точки и и рассмотрим соединяющие эти точки части контура , назовем их . При этом состоит из и проходимого в противоположном направлении контура . По условию, . Значит, .
  2. (). Пусть для любого контура

.

А) В случае, если , соединяющие точки не имеют других общих точек, то, как и в предыдущей части, состоит из и проходимой в противоположном направлении . Поэтому , откуда .

Б) Если имеют конечное число общих точек, кроме и , то можно применить пункт 2А к каждому полученному контуру, интеграл по которому в связи с предположением равен 0, и поэтому для каждой такой полученной части .

В) Случай, когда кроме и кривые имеют бесконечное множество общих точек, мы оставим без доказательства.

Сопоставляя теорему 2 с теоремой 1, получаем следствие.

Следствие. Пусть - односвязная область. не зависит в от формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой области выполняется тождество .

Изготовленные по ГОСТу розетки потолочные в наличии на складе.
промо сайт создание большой магазин и создание промо сайта в России Москва и область;
создание сайтов строительной тематики разные объявления каталог;