Проецирующий аппарат и элементы картины Перспектива точки и отрезка прямой Способы задания плоскости в перспективе Позиционные задачи Масштаб широт. Масштаб высот Построение центральных проекций

Г л а в а 2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ В ПЕРСПЕКТИВЕ

§ 10. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ


Относительно друг друга прямые могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися. Важно знать и уметь определять признаки взаимного положения двух прямых, изображенных на картине. Это даст возможность решать прямые (строить перспективу взаимного положения прямых) и обратные (определять их взаимное положение по изображению на картине) задачи.
Параллельные прямые. Наиболее часто встречаются параллельные прямые. Из практики наблюдательной перспективы известно, что параллельные прямые кажутся нам сходящимися в одной точке (железнодорожное полотно, шоссейная дорога, улица и т.д.). Для обоснования такого явления обратимся к проецирующему аппарату.
Зададим на проецирующем аппарате (рис. 38, а) пучок параллельных прямых , произвольно расположенных в предметной плоскости и ей параллельной . Построим перспективу каждой прямой. Для этого воспользуемся имеющимися точками Ао, Во, Ео, т. е. картинными следами этих прямых. Определим предельную точку каждой прямой (см. рис. 18). Заметим, что для всех заданных прямых она будет общая - Л "о, так как определяется одним и тем же лучом зрения SAoo, проведенным параллельно им до пересечения с линией горизонта. Решение метрических задач способом замены плоскостей проекций


Итак, произвольно направленные горизонтальные параллельные прямые на картине изображаются пучком прямых, сходящихся в одной предельной точке. Общая предельная точка произвольно расположенных горизонтальных параллельных прямых находится на линии горизонта и называется точкой схода. (Закон точки схода горизонтальных прямых.)
Заметим, что на картине (рис. 38, б) для параллельных прямых (А0А'оо, ВоВ'оо), лежащих в предметной плоскости и ей параллельной (ЕхЕ'оо), точка схода Л", может лежать в любом месте на линии горизонта в зависимости от их направления.




Рис. 38
Если параллельные прямые глубинные, т. е. расположены перпендикулярно картинной плоскости, то точкой схода их будет главная эчка Р (рис. 39). Выполнение графических работ Начертательная геометрия Типы задач
Итак, точкой схода глубинных параллельных прямых является главная точка картины. (Закон точки схода пучка глубинных прямых.)
Рассмотрим перспективу восходящих параллельных прямых общего положения (рис. 40). Если восходящие прямые параллельны, Го их проекции на предметную плоскость также между собой па-эаллельны. Проекции параллельных прямых лежат в предметной плоскости, поэтому будут иметь общую предельную точку а^ - точку Схода на линии горизонта. Тогда точка схода Лоо восходящих па-заллельных прямых будет лежать на перпендикуляре, проведенном линии горизонта через точку схода а" их проекций.
Итак, восходящие параллельные прямые общего положения имеют точку схода, расположенную над линией горизонта в произвольном месте и лежащую на одном перпендикуляре с точкой схода проекций этих прямых. (Закон точки схода пучка восходящих прямых общего положения.)
Аналогично строят изображения нисходящих параллельных прямых. Разница лишь в том, что их точка схода В^ будет расположена в произвольном месте под линией горизонта (рис. 41).

Рис 41
Итак, нисходящие параллельные прямые общего положения имеют точку схода, расположенную под линией горизонта в произвольном месте и лежащую на одном перпендикуляре с точкой схода их проекций. (Закон точки схода пучка нисходящих прямых общего положения.)
Таким образом, признаком параллельности прямых общего положения, изображенных на картине, является расположение на одном перпендикуляре точек схода прямых и их проекций. При этом точка схода проекций параллельных прямых должна лежать на линии горизонта.
На рисунке 42 изображены две пары восходящих (Л,РВ и А2РВ) и нисходящих (В\РК и В2Рн) параллельных прямых особого положения. На основе общего правила их точки схода лежат на одном перпендикуляре к линии горизонта. Заметим, что в данном случае перпендикуляром является линия главного вертикала.
Итак, восходящие параллельные прямые особого положения имеют точку схода на линии главного вертикала над горизонтом, а их проекций - в главной точке. (Закон точки схода пучка восходящих прямых особого положения.)
Итак, нисходящие параллельные прямые особого положения имеют точку схода на линии главного вертикала под горизонтом, а их проекций - в главной точке картины. (Закон точки схода пучка нисходящих прямых особого положения.)

Рис. 42
Особые признаки имеют прямые частного положения, расположенные параллельно картине. Прямые, параллельные картине, изображаются на ней параллельными.
Если параллельные прямые фронтальные, то в перспективе они остаются параллельными между собой, а их проекции параллельны основанию картины, поскольку эти прямые и их проекции не имеют предельных точек (рис. 43).

Рис. 43

Если параллельные прямые вертикальные, то в перспективе они остаются вертикальными и параллельными между собой, так как они не имеют предельной точки
Если параллельные прямые горизонтальные (параллельны картинной и предметной плоскостям), то в перспективе они и их проекции остаются параллельными между собой и основанию картины (рис. 45).
Пересекающиеся прямые. Зададим на картине две пересекающиеся в точке А прямые (рис. 46). Тогда проекции этих прямых на предметную плоскость пересекаются в точке а. Причем точка а - проекция точки пересечения А данных прямых. Точки А и а находятся на одном перпендикуляре. Если на картине точки пересечения двух прямых и их проекций лежат на одном перпендикуляре, то данные прямые пересекаются между собой в действительности.
Скрещивающиеся прямые. Зададим на картине две скрещивающиеся прямые (рис. 47). Если прямые скрещиваются, то они не могут быть параллельными и не должны иметь общей точки. Следовательно, на картине точки пересечения прямых и их проекций не должны лежать на одном перпендикуляре.


Рис. 46 Рис. 47


И действительно, если на картине перпендикуляр к предметной плоскости, проведенный из точки а1 пересечения проекций двух прямых, пересекает их в двух разных точках А1 и А2, то данные прямые скрещиваются между собой в действительности. На картине точка, кажущаяся пересечением двух прямых, является изображением двух различных точек В1 и В2, лежащих на скрещивающихся прямых. Обе точки расположены на одном луче зрения и поэтому на картине совпадают.
Заметим, что основания этих слившихся на картине точек различно удалены от основания картины (В1 ближе, В2 дальше). Это указывает на различное удаление от картины соответствующих им точек на заданных прямых (точка В, ближе к зрителю, а точка В2 дальше). Прямые скрещиваются в действительности, если на картине точка пересечения проекций данных прямых является проекцией двух различных точек.
Рассмотрим построение точек схода параллельных (горизонтальных, восходящих и нисходящих), а также пересекающихся и скрещивающихся прямых на примере перспективного изображения каркаса шалаша (рис. 48).

Рис. 48
Прямые, проведенные через концы жердей (У, 2, 3, 4) и конек шалаша, являются произвольно направленными горизонтальными параллельными. Они имеют общую точку схода Q," на линии горизонта. Проекции наклонных жердей имеют точку схода q^ на линии горизонта. Наклонные жерди (/ и 2) будут восходящими параллельными прямыми, и их точка схода QB находится над линией горизонта и на перпендикуляре, проходящем через точку схода их проекций qx. Другая пара (3 и 4) наклонных жердей шалаша является нисходящими параллельными прямыми, и точка схода их QH находится на том же перпендикуляре под линией горизонта. Заметим, что все жерди шалаша имеют одинаковый наклон к земле, поэтому точки схода для восходящих и нисходящих прямых должны находиться на одном перпендикуляре к линии горизонта и на одинаковом расстоянии. По данному рисунку нетрудно определить, какие элементы шалаша параллельны, пересекаются и скрещиваются.


Вопросы и упражнения для самоконтроля
1. Какое положение точки в предметном пространстве называют общим, част
ным? Какие признаки на картине отражают это положение?
2. Как построить перспективу точки, заданной в предметном пространстве?
3. Задайте картину (100 ммX 70 мм) с ее элементами и 5 точек на ней: / - в пред
метной плоскости; 2 и 3 произвольно расположены в предметном пространстве, но
находятся ниже линии горизонта, при этом 2 ближе, чем 1, a 3 дальше, чем /; 4 и 5
находятся выше линии горизонта, при этом 4 на одинаковом удалении с 3, а 5 дальше
всех.
4. На картине (рис. 49) условно заданы 8 точек: вершины двух деревьев, две
сидящие на проводах птицы, две летящие птицы, лежащий на дороге предмет,
вершина телеграфного столба. Определите по изображению на картине, какая из
точек ближе и дальше, выше и ниже всех. Можно ли определить удаленность и
высоту двух летящих птиц? Дайте обоснование вашему суждению.

Рис. 49
5. Докажите, что перспектива прямой есть прямая.
6. Как построить перспективу отрезка?
7. Какое положение отрезка прямой называется общим, частным?
8. Как построить перспективу бесконечно продолженной прямой, лежащей в пред
метной плоскости или ей параллельной? Что называется предельной точкой прямой?
9. Что называется линией горизонта?

10. Что называется восходящей (нисходящей) прямой общего и особого по
ложения? Как их построить на картине? Укажите признаки, определяющие эти
прямые на картине.
11. На картине (рис. 50) заданы отрезки прямых. Определите их пространствен
ное положение. Укажите, где будут находиться их предельные точки. Назовите
отрезки прямых, изображенных на картине.
12. Какие частные положения может иметь прямая, расположенная в предмет
ном пространстве? Какие признаки на картине определяют их положение?
13. По изображению домика на картине (рис. 51) определите положение его

Рис. 50
Рис. 51
элементов, отражающих горизонтальные, вертикальные, фронтальные, восходящие и нисходящие прямые.
14. Что называется следом прямой? Какие следы имеет прямая на картине?
Как построить на картине следы прямой?
15. Сколько и какие следы будут иметь прямые: восходящие и нисходящие об
щего и особого положения, горизонтальные, фронтальные, вертикальные? Задайте на
картине эти прямые и постройте их следы.
16. Что называется точкой схода прямых?
17. Где находится точка схода: глубинных прямых, восходящих и нисходящих
общего и особого положения, горизонтальных прямых, расположенных произ
вольно и под углом 45° к картинной плоскости?
18. При каком положении параллельные прямые не имеют точек схода и оста
ются параллельными? Дайте обоснование вашему суждению.

Курс лекций для студентов художественно-графических факультетов