Проецирующий аппарат и элементы картины Перспектива точки и отрезка прямой Способы задания плоскости в перспективе Позиционные задачи Масштаб широт. Масштаб высот Построение центральных проекций

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ


При построении перспективных изображений фигур или их элементов, а также различных предметов часто возникает необходимость решать позиционные задачи. Позиционными называются задачи на построение и определение взаимного положения фигур или их элементов, изображенных на картине.
К позиционным относятся следующие задачи: определение взаимного положения прямых, построение точки или прямой, лежащей в плоскости, построение линии пересечения двух плоскостей, построение точки пересечения прямой с плоскостью и др.
На данном этапе можно решать простейшие позиционные задачи, связанные со взаимным, положением прямых и плоскостей. Рассмотрим примеры и способы решения таких задач. Новые изделия повторяют устаревшие формы своих предшественников: первый автомобиль - форму конного экипажа, первые летательные аппараты -крыло птицы, а граммофонная труба напоминает формы духовых музыкальных инструментов
Проведение параллельных прямых с недоступной точкой схода. Этот случай очень часто встречается в практике построения перспективных изображений. Для их проведения могут быть использованы способы:
а) подобных треугольников (примеры 1...3);
б) вспомогательных прямоугольников (примеры 4, 5);
в) вспомогательных параллельных прямых (пример 6);
г) пропорциональных отрезков (пример 7).
Рассмотрим примеры применения данных способов в перспективе.

Проецирование прямой линии в точку Пример. Задан отрезок прямой, занимающий положение горизонтали. Требуется подобрать направление проецирования и новую плоскость проекций на которую данный отрезок проецировался бы в точку. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость Данная задача может быть решена из определения: плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она проходит через перпендикуляр к этой плоскости. Таким образом, если в заданной плоскости взять какую-либо прямую и последовательно преобразовать ее точку, то и плоскость в которой она лежит должна стать проецирующей (проецироваться-вырождаться в прямую)
Пример 1. На картине (рис. 68, а) даны лежащие в предметной плоскости прямая 3-3_1 и точка А вне ее. Требуется провести через данную точку А прямую, параллельную заданной. Следовательно, надо найти в пределах рамки картины вторую точку А1, принадлежащую искомой прямой. Для построения применяют геометрический способ подобных треугольников (рис. 68, б).
На картине вначале строят произвольный треугольник, у которого одна вершина находится в точке А, другая (2) - на линии горизонта, третья (3) - на заданной прямой. Затем строят второй треугольник, подобный данному, задав одну из вершин (3\) на заданной прямой. Вторую вершину {2\) находят на линии горизонта. Через них проводят стороны второго треугольника, которые параллельны сторонам первого. В пересечении этих сторон находят точку А1 - третью вершину треугольника, которая принадлежит искомой прямой.

б)
Рис. 68

Через точки А и А1 проводят вторую прямую, расположенную параллельно первой. По свойству подобных треугольников центр подобия (точка схода) этих прямых при их продолжении должен лежать на линии горизонта.
Пример 2. На картине (рис. 69) заданы восходящая прямая АА1 с ее проекцией Аа и точка В, произвольно расположенная в пространстве. Требуется провести через точку В вторую восходящую прямую, параллельную первой.


Рис. 69
Для построения применяют способ подобных треугольников. В данном примере постоянной прямой, связывающей подобные треугольники, будет перпендикуляр, проходящий через проекцию ас" точки схода искомых параллельных прямых. Сначала строят треугольник, соединив точки А, В и а". Затем, взяв произвольную точку А\ на заданной прямой, строят второй треугольник, подобный первому. Из точки В проводят через точку В\ прямую, которая определит направление искомой восходящей прямой, параллельной первой.


Пример 3. На картине (рис. 70, а) заданы в предметной плоскости произвольная прямая с точкой В на ней и точка А вне ее. Требуется провести через точку А прямую, параллельную заданной. Здесь также применяют способ подобных треугольников, но построенных в перспективе, а не по правилам геометрии, как в предыдущих двух примерах. Для этого рассмотрим основу данного способа на геометрическом чертеже (рис. 70, б).



Если даны две параллельные прямые А-4 и В-41, то определить на них положение точек 4 и 41можно построением подобных или равных треугольников. На рисунке 70, б построены два подобных треугольника, у которых вершины 4 и 41 найдены в пересечении параллельных прямых 2-4 и 3-4, 21-4х и 3,- 41.
Такие же построения выполняют на картине (см. рис. 70, а). Для этого через точку В заданной прямой проводят горизонтальную прямую и откладывают на ней от точки В три произвольных, но равных отрезка В-11, U-21, 21-31. Затем отмечают на заданной прямой произвольную точку 41 и соединяют ее с точками 21 и 31. Далее определяют на линии горизонта предельные точки З и 2, полученных прямых. Через точку А проводят горизонтальную прямую и откладывают на ней такие же, как и на заданной, или произвольные, но равные между собой отрезки А-1, 1-2, 2-3. Помня, что параллельные прямые в перспективе имеют общую точку схода, проводят через точки 2 и 3 прямые, параллельные паре прямых в первом треугольнике. Прямые 2-2* и 3-3,*, определят в пересечении точку 4. Соединив точки А и 4, находят направление искомой прямой, параллельной заданной. Этот способ построения параллельных прямых в перспективе при недоступных точках схода несколько сложнее предыдущих, но в некоторых случаях он более удобен.

Пример 4. На картине (рис. 71, а) заданы прямая, лежащая в предметной плоскости, и точка А вне ее на высоте Аа, через которую надо провести вторую прямую, параллельную заданной.
В этом случае применяют способ построения вспомогательных вертикальных прямоугольников, поскольку обе параллельные прямые расположены в горизонтально-проецирующей плоскости. Так как точка А находится выше линии горизонта, то решение этой задачи будет сводиться к построению двух прямоугольников. В этом случае линия горизонта будет их общей стороной.
Основа данного построения представлена на геометрическом чертеже (рис. 71, б). Прямоугольник аАВb разделен линией горизонта на два вспомогательных, в которых проведены диагонали. Заметим, что точки пересечения диагоналей этих прямоугольников лежат на одной вертикальной прямой 1-2.
Эти же построения выполняют на картине (см. рис. 71, а). Сначала отмечают в произвольном месте на заданной прямой точку
В точку А и проводят через нее вертикальную прямую. Затем в полученном нижнем прямоугольнике (под линией горизонта) проводят диагонали с точкой пересечения 1. В верхнем прямоугольнике можно провести только одну диагональ через точку А. На ней отмечают с помощью вертикальной прямой 1-2 точку 2 пересечения диагоналей. Через полученную точку проводят вторую диагональ, которая отметит правую верхнюю вершину В прямоугольника. Соединив прямой точки А и В, находят направление верхней стороны прямоугольника, т. е. искомую параллельную прямую.
Способ построения вспомогательных прямоугольников применяют при рисовании с натуры куба, параллелепипеда и любого предмета призматической формы.
Пример 5. На картине (рис. 72) заданы высота переднего вертикального ребра параллелепипеда, а также направление и величина видимых ребер его нижнего основания. Требуется построить его верхнее основание. Для определения направления видимых ребер верхнего основания параллелепипеда строят вспомогательные прямоугольники для одной и другой граней, как показано на предыдущем рисунке 71.
Для построения граней куба или параллелепипеда можно применить способ вспомогательных параллельных прямых.
Пример 6. На картине (рис. 73) изображена произвольная прямая ab, лежащая в предметной плоскости. Требуется на заданной высоте Аа провести вторую прямую, параллельную первой. Для этого через точки А и а проводят произвольные параллельные прямые так, чтобы их точка схода Лк на линии горизонта находилась в пределах рамки картины. Затем отмечают на заданной прямой любую точку b и проводят через нее вертикальную прямую. Если через точку b провести горизонтальную прямую, то отрезок Btbt между вспомогательными параллельными прямыми определит величину искомого отрезка Вb.
На рисунке 74 ребра верхнего основания куба построены вышеописанным способом.

Рис. 72
Способ вспомогательных параллельных прямых применяют для проверки правильности построения параллельных прямых с недоступными точками схода при изображении в перспективе любого предмета призматической формы. Проверку выполняют в следующей последовательности (рис. 75).
Сначала через концы переднего ребра проводят две вспомогательные прямые с точкой схода А ос- Затем через нижний конец 3 левого ребра проводят прямую параллельно основанию картины. Отрезок 1-2 определит величину ребра 3-4. Если параллельная линия, проведенная через точку 2, пройдет через верхний конец ребра, т. е. точку 4, то левая грань построена верно.
Аналогичные построения выполняют для проверки правильности величины правого ребра (линии построения штриховые). Заметим, что длина правого ребра 5-8 определена неверно, поэтому и направление ребра верхней грани построено неточно. Его надо провести через точку 8.
Пример 7. На картине (рис. 76, а) даны две стороны основания дома и его передний угол (ребро). Требуется построить карнизы и окна дома. Следовательно, задача сводится к построению нескольких параллельных прямых при недоступной точке схода, расположенных на определенных расстояниях друг от друга (деления отмечены на переднем ребре дома). В этом случае применяют способ построения пропорциональных отрезков.
Для данного построения удобно использовать полоску бумаги, которую прикладывают к вертикальной прямой I - правому углу дома. На ней отмечают точки 1 (нижний конец) и 2 (точку пересечения вертикальной прямой с линией горизонта). Затем перемещают полоску в новое произвольное положение II, совместив точку / на полоске с нижним передним углом дома. Соединив точки 2 и 3, проводят параллельно полученному отрезку ряд прямых через деления, отмеченные на переднем ребре дома до края полоски. На полоске отмечают отрезки, пропорциональные заданным (по теореме Фа-леса). После этого перемещают полоску бумаги в первоначальное положение III и переносят на правое ребро дома полученные отметки. Соединив их попарно с точками, заданными на переднем ребре дома, получают пучок параллельных прямых с общей недоступной точкой схода (рис. 76, б). Также переносят отметки на левое ребро (угол) дома. Ширину окон и простенков переносят с помощью линий переноса (рис. 76, в) и точки схода А^. (Этот способ построения показан на рисунке 117.)



Построение линии пересечения двух плоскостей. Для этого необходимо найти принадлежащие ей две общие точки. Если обе плоскости заданы следами, то общими точками для них будут точки пересечения картинных и предметных 2" следов. Прямая, соединяющая эти точки, будет общей для данных плоскостей и, следовательно, линией их пересечения. На рисунке 77 дан пример взаимного пересечения двух плоскостей R и Q общего положения. На рисунке 78 одна из пересекающихся плоскостей Q горизонтально-проецирующая, т. е. частного положения.
Если у двух пересекающихся плоскостей точка пересечения предметных следов (рис. 79) находится за пределами картины, то используют точку 2" пересечения их предельных прямых.
Построение точки пересечения прямой с плоскостью. Для этого через данную прямую проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость и строят линию ее пересечения с заданной. Точка пересечения заданной прямой с этой линией будет искомой.
На картине (рис. 80) изображены плоскость Q общего положения, заданная следами, и прямая АВ. Построение точки пересечения прямой с плоскостью выполняют в следующей последовательности. Сначала через прямую проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R, предметный след которой совпадает с проекцией прямой, а картинный - пройдет через точку Ro и перпендикулярно к основанию картины.
Далее определяют точки пересечения их предметных 2п и картинных Iк следов

Рис. 79 Рис. 80
Затем проводят линию 1К-2п пересечения заданной Q и вспомогательной R плоскостей, которой определяют точку 3 пересечения прямой с плоскостью.
Построение следов плоскости, заданной на картине различными способами. При построении перспективных изображений часто возникает необходимость определить следы плоскости, заданной на картине каким-либо способом. Для этого используют различные приемы. Рассмотрим их.
Пример 1. На картине (рис. 81) плоскость Q задана тремя точками А, В, С, не лежащими на одной прямой. Требуется построить ее следы. Для этого находят по две точки, принадлежащие каждому следу. Точки предметного следа: С - данная, В" - предметный след прямой, проходящей через точки А и В. Предметный след QoQoo плоскости Q, проходя через точки В" и С, пересечет основание картины в точке Qo, которая принадлежит картинному следу. Точка Ак - картинный след прямой АВ. Через точки Qo и Ак проводят картинный след Q0QK плоскости Q.
Пример 2. На картине (рис. 82) задана треугольная пирамида. Требуется построить следы видимых граней пирамиды. Заметим, что предметные следы граней совпадут с основанием пирамиды. Продолжив их до пересечения с основанием картины, отмечают точки Qo и Ro. Для построения картинных следов через высоту пирамиды проводят фронтальную плоскость /-2-3 и строят линию пересечения ее с основанием /-2 и боковыми гранями /-3 и 2-3 пирамиды.

Рис. 81
Затем проводят картинные следы этих граней через точки Qo и Ro параллельно соответствующей линии пересечения вспомогательной фронтальной плоскости с боковыми гранями пирамиды (R0RK\\2-3 и QoQAl-3).
Пример 3. На картине заданы параллельные прямые ЛЛоо и В А "о (рис. 83). Требуется построить следы плоскости, проходящей через данные прямые. В этом примере сначала находят картинные следы Лк и Вк данных прямых. Затем через них проводят картинный след искомой плоскости и отмечают точку Qo пересечения его с основанием картины.
Для построения предметного следа Q0Qoo плоскости в данном случае удобно провести предельную прямую Q^Aoo через заданную точку схода Лоо и параллельно картинному следу. Соединив полученную предельную точку Q^ предметного следа с Qo, находят предметный след QoQoc искомой плоскости.
Пример 4. На картине (рис. 84) заданы пересекающиеся прямые АВ н АС- Требуется построить следы плоскости, проходящей через данные прямые. Следы плоскости пройдут через одноименные следы прямых. Поэтому сначала строят картинный след Вк прямой АВ и предметный след А" прямой АС. Далее через точки В и С проводят вспомогательную прямую и строят ее предметный след Сп- Получив предметные следы Л" и Сп прямых АС и ВС, проводят через них предметный след QoQoo искомой плоскости и отмечают точку Qo. Затем строят проходящий через точки Qo и Вк картинный след искомой плоскости.

Вопросы и упражнения для самоконтроля
1. Какими способами может быть задана плоскость на картине?
2. Что называется следом плоскости?
3. Сколько и какие следы имеют в перспективе плоскости общего, особого и
частного положения?
4. Что называется предельной прямой плоскости?
5. Что называется предельной прямой предметной плоскости?

6. Какие признаки на картине указывают на плоскость общего и особого по
ложения? Дайте определение этим плоскостям.
7. Какое положение плоскости на картине называют частным? Какие признаки
на картине указывают на плоскость частного положения? Назовите плоскости
частного положения.
8. Нарисуйте куб, стоящий на горизонтальной плоскости: а) одна грань фрон
тальная; б) все боковые грани под углом к картине. При изображении боковых
граней куба используйте приемы построения параллельных линии при недоступных
точках схода.
9. Нарисуйте треугольную призму, лежащую на боковой грани и произвольно
расположенную к картине. Определите точки схода горизонтальных и наклонных
ребер призмы.
Рис. 85
10. По изображению домика (рис. 85) определите положение плоскостей,
составляющих его форму, и дайте им название. Постройте точки схода ребер стен,
крыши домика и надстройки.



Рис. 85

Курс лекций для студентов художественно-графических факультетов