|
| ||
|
|
||
|
| ||
|
|
ТФКП - теория и функция комплексного переменного
Вычисление интегралов.
Если функция непрерывна вплоть до границы области D и аналитична внутри области, за исключением конечного число особых точек ak, то
.
1.
Вычислить интеграл 
,
С={x2
+y2
=2x},
проходимый в положительном направлении.
Решение.
Контур представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Корни
знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах
первого-третьего и второго-четвертого углов. Внутрь контура C
попадают два из них, лежащих в правой полуплоскости 
.
Остальные два 
лежат вне области.
.
.
Исходный интеграл будет равен 
.
2.
Вычислить интеграл 
,
проходимая в положительном направлении.
Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.
.
Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥
имеет вид
.
Ряд сходится в кольце 3<|z|<¥.
Коэффициент c-1
формируется из индексов, удовлетворяющих
условию 5m+k+6=1,
так как таких индексов нет, то c-1=0
и 
, поэтому
.
3.
Вычислить интеграл 
,
проходимая в положительном направлении.
Решение.
Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса 
,
и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл
будет равен
.
Для вычисления вычета в ¥
воспользуемся
разложением в ряд Лорана
,
откуда c-1=0.5,
следовательно 
Ответ pi.
4.
Вычислить интеграл 
где
С – окружность |z|=r,
проходимая в положительном направлении.
Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.
.
Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.
5.
Вычислить интеграл 
где
n-
целое и С – окружность |z|=r,
проходимая в положительном направлении.
Решение. Воспользуемся разложением в ряд Лорана.
.
Равенство k-n=1
Будет выполнено при n³
-1. Для этих значений параметра 
.
Для остальных значений параметра n
интеграл I=0.
Вычисление интегралов. Продолжение.
Для
вычисления интегралов вида 
используют
следующие два вспомогательных утверждения
Лемма.
Если f(z) аналитична в {Im z >=
0 } кроме конечного числа о.т. akÎ{Im
z > 0} и 
,
то
.
Здесь CR={Imz³ 0, |z|=R}.
Обобщённая
лемма. Если f(z) аналитична в
{Im z >= 0 } кроме конечного числа о.т. akÎ{Im
z > 0}, на вещественной оси имеются
только полюсы первого порядка bk и ,
то
Лемма
Жордана. Если f(z) непрерывна
в { |z|³R0,
Im z ³
-a, a>0 } и 
Тогда 
для
любого l>0.
Следствие.
Если для функции f(z)
выполнены условия леммы, то
,
где сумма берется по всем вычетам подынтегральной функции из верхней полуплоскости.
Для решения задач этого раздела можно использовать следующие оценки для значений модуля многочлена на окружности радиуса R.
,
где
m>0.
Аналогично, 
.
Таким образом, при оценках значения рациональной функции 
на окружности радиуса R®¥
следует смотреть лишь на старшие члены многочленов числителя и знаменателя
.
Учитывая это, условие леммы
для рациональной функции будет выполнены, если n-m+1£-1,
или n-m+1<0.
1.
Вычислить интеграл 
Решение.
Для подынтегральной функции 
выполнено условие n-m+1=-1<0.
Далее
.
2.
Вычислить интеграл 
Решение.
Условие леммы выполнено n
– m
+1 = -2 < 0. Нули знаменателя 
.
В верхнюю полуплоскость попадает нуль 
,
являющийся полюсом второго порядка для f(z).
.
Откуда 
.
3.
Вычислить интеграл 
Решение.
Условие
леммы выполнено n
– m
+1 = -1 < 0. Нули знаменателя 
.
В верхнюю полуплоскость попадает нуль 
,
являющийся полюсом второго порядка для f(z).
.
Откуда 
.
4.
Вычислить интеграл 
Решение.
Условие леммы выполнено n
– m
+1 = -3 < 0. В верхнюю полуплоскость
попадают нули знаменателя ,
являющиеся полюсами первого порядка для функции f(z).
Поэтому
.
5.
Вычислить интеграл 
Решение. Условие леммы выполнено n – m +1 = -1 < 0. Корни знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах первого-третьего и второго-четвертого углов.
.
В
верхнюю полуплоскость попадают нули 
.
.
Отметим, что
поэтому
Исходный интеграл будет равен 
.
6.
Вычислить интеграл 
Решение.
Рассмотрим функцию 
.
Для функции f(z)
выполнены условия леммы Жордана 
,
поэтому
.
|
|
||||||||
|
|
||||||||