Вычисление интегралов.

Если функция непрерывна вплоть до границы области D и аналитична внутри области, за исключением конечного число особых точек a_k, то

.

1. Вычислить интеграл , С={x² +y² =2x}, проходимый в положительном направлении.

Решение. Контур представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Корни знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах первого-третьего и второго-четвертого углов. Внутрь контура C попадают два из них, лежащих в правой полуплоскости . Остальные два   лежат вне области.

.

. Исходный интеграл будет равен .

2. Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид

. Ряд сходится в кольце 3<|z|<¥. Коэффициент c_-1 формируется из индексов, удовлетворяющих условию 5m+k+6=1, так как таких индексов нет, то c_-1=0 и , поэтому .

3. Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Все особые точки подынтегральной функции лежат не окружности радиуса , и, таким образом, попадают внутрь контура интегрирования. Следовательно, интеграл будет равен

. Для вычисления вычета в ¥воспользуемся разложением в ряд Лорана

, откуда c_-1=0.5, следовательно   Ответ pi.

4. Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.

5. Вычислить интеграл где n- целое и С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Лорана.

. Равенство k-n=1 Будет выполнено при n³ -1. Для этих значений параметра . Для остальных значений параметра n интеграл I=0.

Вычисление интегралов. Продолжение.

Для вычисления интегралов вида используют следующие два вспомогательных утверждения

Лемма. Если f(z) аналитична в {Im z >= 0 } кроме конечного числа о.т. a_kÎ{Im z > 0} и , то

.

Здесь C_R={Imz³ 0, |z|=R}.

Обобщённая лемма. Если f(z) аналитична в {Im z >= 0 } кроме конечного числа о.т. a_kÎ{Im z > 0}, на вещественной оси имеются только полюсы первого порядка b_k и , то

Лемма Жордана. Если f(z) непрерывна в { |z|³R₀, Im z ³ -a, a>0 } и   Тогда  для любого l>0.

Следствие. Если для функции f(z) выполнены условия леммы, то, где сумма берется по всем вычетам подынтегральной функции из верхней полуплоскости.

Для решения задач этого раздела можно использовать следующие оценки для значений модуля многочлена на окружности радиуса R.

,

где m>0. Аналогично, . Таким образом, при оценках значения рациональной функции   на окружности радиуса R®¥ следует смотреть лишь на старшие члены многочленов числителя и знаменателя

. Учитывая это, условие леммы   для рациональной функции будет выполнены, если n-m+1£-1, или n-m+1<0.

1. Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции   выполнено условие n-m+1=-1<0. Далее

.

2. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено n – m +1 = -2 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .

3. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено n – m +1 = -1 < 0. Нули знаменателя . В верхнюю полуплоскость попадает нуль , являющийся полюсом второго порядка для f(z).

. Откуда .

4. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено n – m +1 = -3 < 0. В верхнюю полуплоскость попадают нули знаменателя , являющиеся полюсами первого порядка для функции f(z). Поэтому

.

5. Вычислить интеграл

Решение. Условие леммы выполнено n – m +1 = -1 < 0. Корни знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах первого-третьего и второго-четвертого углов.

.

В верхнюю полуплоскость попадают нули .

. Отметим, что

  поэтому

  Исходный интеграл будет равен .

6. Вычислить интеграл

Решение. Рассмотрим функцию . Для функции f(z) выполнены условия леммы Жордана , поэтому

.