Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Интегральная формула Коши

Пусть задана аналитическая функция f в области D, ограниченной конечным числом кривых. Тогда в любой точке функция f представима в виде

где - ориентированная граница D. Интеграл в правой части равенства называется интегралом Коши.

1. Вычислить интеграл

если 3i лежит внутри контура C, а точка –3i вне его.

Решение. Представим интеграл Iв виде интеграла Коши

2. Вычислить интеграл из примера 1, если контур C представляет собой окружность с центром в начале координат и радиуса 4.

Решение. Область, ограниченную данным контуром разобьем отрезком :[4i,-4i] на две области D₁,D_2. Представим интеграл Iв виде суммы двух интегралов

Здесь A – левая полуокружность, проходимая против часовой стрелки, B-правая полуокружность, проходимая против часовой стрелки, E-отрезок [-4i,4i], F-отрезок [4i,-4i], AE=A+E, FB=F+B. Интегралы в правой части полученного равенства можно представить в виде интегралов Коши.

Таким образом, вычисляемый интеграл равен нулю.

3. Вычислить интеграл

если точка a лежит внутри контура C.

Решение. Рассмотрим интеграл Коши

Дифференцируя это равенство дважды получим

Откуда следует, что

4. Вычислить интеграл

если точка 0 лежит внутри контура C, а точка 1 вне контура C.

Решение. Данный интеграл является интегралом Коши для функции e^z/(1-z)³, поэтому он равен e^z/(1-z)³, при z=0, таким образом I=1.

5. Вычислить интеграл из примера 4

если точка 1 лежит внутри контура C, а точка 0 лежит вне контура C.

Решение. Рассмотрим интеграл Коши

Дифференцируя это равенство дважды получим

Откуда

6. Вычислить интеграл из примера 4

если обе точки 0 и 1 лежат внутри контура C.

Решение. Разрежем область, ограниченную контуром на две с помощью некоторой кривой так, чтобы 0 попал в одну половину, а 1 в другую. Требуемый интеграл можно представить в виде суммы двух, вычисленных в предыдущих примерах. Поэтому в результате получим 1 – e/2.

7. Вычислить интеграл