Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

Интегральная формула Коши

Пусть задана аналитическая функция f в области D, ограниченной конечным числом кривых. Тогда в любой точке   функция f представима в виде

,

где  - ориентированная граница D. Интеграл в правой части равенства называется интегралом Коши.

1. Вычислить интеграл

,

если 3i лежит внутри контура C, а точка –3i вне его.

Решение. Представим интеграл Iв виде интеграла Коши

2. Вычислить интеграл из примера 1, если контур C представляет собой окружность с центром в начале координат и радиуса 4.

Решение. Область, ограниченную данным контуром разобьем отрезком :[4i,-4i] на две области D₁,D_2. Представим интеграл Iв виде суммы двух интегралов

.

Здесь A – левая полуокружность, проходимая против часовой стрелки, B-правая полуокружность, проходимая против часовой стрелки, E-отрезок [-4i,4i], F-отрезок [4i,-4i], AE=A+E, FB=F+B. Интегралы в правой части полученного равенства можно представить в виде интегралов Коши.

Таким образом, вычисляемый интеграл равен нулю.

3. Вычислить интеграл

,

если точка a лежит внутри контура C.

Решение. Рассмотрим интеграл Коши

Дифференцируя это равенство дважды получим

,

Откуда следует, что

,

4. Вычислить интеграл

,

если точка 0 лежит внутри контура C, а точка 1 вне контура C.

Решение. Данный интеграл является интегралом Коши для функции e^z/(1-z)³, поэтому он равен e^z/(1-z)³, при z=0, таким образом I=1.

5. Вычислить интеграл из примера 4

если точка 1 лежит внутри контура C, а точка 0 лежит вне контура C.

Решение. Рассмотрим интеграл Коши

Дифференцируя это равенство дважды получим

,

Откуда

,

6. Вычислить интеграл из примера 4

если обе точки 0 и 1 лежат внутри контура C.

Решение. Разрежем область, ограниченную контуром на две с помощью некоторой кривой так, чтобы 0 попал в одну половину, а 1 в другую. Требуемый интеграл можно представить в виде суммы двух, вычисленных в предыдущих примерах. Поэтому в результате получим 1 – e/2.

7. Вычислить интеграл

C-верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 10.

Решение. Данный интеграл является интегралом Коши для функции

f(z)=1/(z + ia) и u = ia

Поэтому I = f(ia) = 1/(2ai).

8. Вычислить интеграл

C-верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 10.

Решение. Отметим, что

Продифференцируем это равенство

Таким образом

9. Вычислить интеграл

C-верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 10.

Решение. Представим интеграл в виде

Учитывая результаты примеров 8 и 9, получим

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции