Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

Теорема о вычетах. Примеры

Теорема (Основная теорема о вычетах).

Если функция f(z - аналитична в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство

где D - односвязная область в комплексной плоскости,   - граница D,
- вычет функции f(z) в точке z_k.

Пример 1. Вычислить интеграл  

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z) - i = 0, т.е. точки  

Кругу принадлежит только одна из этих точек, точка  

Эта точка - простой полюс функции   , т.к. она является простым нулем знаменателя.

Вычислим вычет в простом полюсе f (z):

Тогда

Пример 2. Вычислить интеграл  

Решение. Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z = 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.

Вычислим вычет в существенно особой точке функции f (z):   поскольку

Тогда

Пример 3. Вычислить интеграл  

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения z⁴ + 1 = 0, т.е. точки  

Все эти точки - простые полюсы подынтегральной функции, кругу      принадлежат только две из них:      и  

Вычислим вычеты f(z) в этих точках:

Тогда

Пример 4 вычислить интеграл [1].

Находим особые точки .

Особыми точками являются: ,

особые точки числителя:,

и нули знаменателя:.

Внутри контура находятся: - СОТ[2],

вне: - УОТ[3],

- ПП (простой полюс – полюс 1-го порядка)[4]

‚ Интеграл , можно вычислять по формулам [5] или [6].

Заметим, что в данном случае вычисления по первой формуле сложнее, чем по второй.

ƒŒ Для нахождения вычета[7] функции в точке разложим[8] эту функцию в ряд Лорана в кольце . Получаем:

- если , то

;

- если , то

.

Таким образом, если , то

= .

Умножая эти ряды, получаем, что коэффициент при равен

.

Вычисление суммы такого ряда часто оказывается затруднительным. Но в данном случае можно догадаться, что .

ƒ Вычислим интеграл по второй формуле: . Получаем

= =

Для нахождения вычета функции в точке [9] разложим эту функцию в ряд Лорана в кольце . Получаем

= = =

, следовательно .

„ По теореме Коши о вычетах

= =

= =

Ответ: =

---

[1] По умолчанию направление обхода считается положительным – против часовой стрелки.

[2]Определение. Изолированная особая точка функции называется существенно особой точкой, если не существует конечного или бесконечного предела .

[3]Определение. Изолированная особая точка функции называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .

[4]Определение. Изолированная особая точка функции называется полюсом, если существует предел .

[5]Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей . Пусть функция определена и регулярна на всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек (при этом имеется в виду, что, если , то ) и пусть к тому же функция непрерывно продолжима на границу области . Тогда справедлива формула .

[6]Следствие. Пусть функция регулярна во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек . Тогда .

[7]Определение. Пусть изолированная особая точка функции , . Пусть - положительно ориентированная окружность, причем . Тогда вычетом функции в точке называется число .

[8], где - коэффициент разложения функции в ряд Лорана с центром в конечной точке при .

[9] , где - коэффициент разложения функции в ряд Лорана с центром в бесконечности.

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

аконкагуа: аконкагуа стоимость - описание