Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Теорема о вычетах. Примеры

Теорема (Основная теорема о вычетах).

Если функция f(z - аналитична в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство

где D - односвязная область в комплексной плоскости,   - граница D,
- вычет функции f(z) в точке z_k.

Пример 1. Вычислить интеграл  

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z) - i = 0, т.е. точки  

Кругу принадлежит только одна из этих точек, точка  

Эта точка - простой полюс функции   , т.к. она является простым нулем знаменателя.

Вычислим вычет в простом полюсе f (z):

Тогда

Пример 2. Вычислить интеграл  

Решение. Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z = 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.

Вычислим вычет в существенно особой точке функции f (z):   поскольку

Тогда

Пример 3. Вычислить интеграл  

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения z⁴ + 1 = 0, т.е. точки  

Все эти точки - простые полюсы подынтегральной функции, кругу      принадлежат только две из них:      и  

Вычислим вычеты f(z) в этих точках:

Тогда

Пример 4 вычислить интеграл [1].

Находим особые точки .

Особыми точками являются: ,

особые точки числителя:,

и нули знаменателя:.

Внутри контура находятся: - СОТ[2],

вне: - УОТ[3],

- ПП (простой полюс – полюс 1-го порядка)[4]

‚ Интеграл , можно вычислять по формулам [5] или [6].

Заметим, что в данном случае вычисления по первой формуле сложнее, чем по второй.

ƒŒ Для нахождения вычета[7] функции в точке разложим[8] эту функцию в ряд Лорана в кольце . Получаем:

- если , то

;

- если , то

.

Таким образом, если , то

= .

Умножая эти ряды, получаем, что коэффициент при равен

.

Вычисление суммы такого ряда часто оказывается затруднительным. Но в данном случае можно догадаться, что .

ƒ Вычислим интеграл по второй формуле: . Получаем

= =

Для нахождения вычета функции в точке [9] разложим эту функцию в ряд Лорана в кольце . Получаем

= = =

, следовательно .

„ По теореме Коши о вычетах

= =

= =

Ответ: =

---

[1] По умолчанию направление обхода считается положительным – против часовой стрелки.

[2]Определение. Изолированная особая точка функции называется существенно особой точкой, если не существует конечного или бесконечного предела .

[3]Определение. Изолированная особая точка функции называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .

[4]Определение. Изолированная особая точка функции называется полюсом, если существует предел .

[5]Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей . Пусть функция определена и регулярна на всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек (при этом имеется в виду, что, если , то ) и пусть к тому же функция непрерывно продолжима на границу области . Тогда справедлива формула .

[6]Следствие. Пусть функция регулярна во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек . Тогда .

[7]Определение. Пусть изолированная особая точка функции , . Пусть - положительно ориентированная окружность, причем . Тогда вычетом функции в точке называется число .

[8], где - коэффициент разложения функции в ряд Лорана с центром в конечной точке при .

[9] , где - коэффициент разложения функции в ряд Лорана с центром в бесконечности.

Тренажерный зал от 18000р в год - Тренажерный зал в Новогиреево . СПОРТ-КЛАСС в Новогиреево. ; аренда торговых помещений