ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Теорема о вычетах. Примеры

Теорема (Основная теорема о вычетах).

Если функция f(z - аналитична в image156 (75 bytes)за исключением конечного числа особых точек image157 (126 bytes), то справедливо равенство
image158 (545 bytes)
где D - односвязная область в комплексной плоскости,   image159 (91 bytes)- граница D,
image160 (166 bytes)- вычет функции f(z) в точке zk.

 

Пример 1. Вычислить интеграл   image266 (273 bytes)

 

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z) - i = 0, т.е. точки   image267 (486 bytes)

Кругу image268 (151 bytes)принадлежит только одна из этих точек, точка   image269 (193 bytes)

Эта точка - простой полюс функции   image270 (129 bytes), т.к. она является простым нулем знаменателя.

Вычислим вычет в простом полюсе f (z):

image271 (861 bytes)

Тогда image272 (432 bytes)

 

Пример 2. Вычислить интеграл   image273 (250 bytes)

 

Решение. Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z = 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.

Вычислим вычет в существенно особой точке функции f (z):   image274 (266 bytes)поскольку

image2751.gif (1554 bytes)

image2752.gif (1358 bytes)

Тогда image276 (454 bytes)

 

Пример 3. Вычислить интеграл   image277 (282 bytes)

 

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения z4 + 1 = 0, т.е. точки   image278 (590 bytes)

Все эти точки - простые полюсы подынтегральной функции, кругу   image279 (152 bytes)   принадлежат только две из них:   image280 (306 bytes)   и   image281 (315 bytes)

Вычислим вычеты f(z) в этих точках:

image282 (1827 bytes)

Тогда

image2831.gif (1823 bytes)

image2832.gif (1899 bytes)

image2833.gif (1275 bytes)

 

Пример 4  вычислить интеграл [1].

Находим особые точки .

Особыми точками являются: ,

  особые точки числителя:,

  и нули знаменателя:.  

Внутри контура находятся:  - СОТ[2],

  вне:  - УОТ[3],

   - ПП (простой полюс – полюс 1-го порядка)[4]

Интеграл  , можно вычислять по формулам [5] или [6].

  Заметим, что в данном случае вычисления по первой формуле сложнее, чем по второй.

ƒŒ Для нахождения вычета[7] функции  в точке   разложим[8] эту функцию в ряд Лорана в кольце . Получаем:

-          если , то

    ;

-          если , то

.

Таким образом, если , то

= .

Умножая эти ряды, получаем, что коэффициент  при  равен

.

Вычисление суммы такого ряда часто оказывается затруднительным. Но в данном случае можно догадаться, что .

ƒ Вычислим интеграл  по второй формуле: . Получаем

 =  =

Для нахождения вычета функции  в точке  [9] разложим эту функцию в ряд Лорана в кольце . Получаем

 =  =  =

, следовательно .

По теореме Коши о вычетах

 =  =

 =  =

Ответ:  =

 

 



[1] По умолчанию направление обхода считается положительным – против часовой стрелки.

[2]Определение. Изолированная особая точка  функции называется существенно особой точкой, если не существует конечного или бесконечного предела .

[3]Определение. Изолированная особая точка  функции называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .

[4]Определение. Изолированная особая точка  функции называется полюсом, если существует предел .

[5]Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область  с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей . Пусть функция  определена и регулярна на  всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек  (при этом имеется в виду, что, если , то ) и пусть к тому же функция  непрерывно продолжима на границу области . Тогда справедлива формула .

[6]Следствие. Пусть функция  регулярна во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек . Тогда .

[7]Определение. Пусть изолированная особая точка  функции , . Пусть  - положительно ориентированная окружность, причем . Тогда вычетом функции  в точке  называется число .

[8], где  - коэффициент разложения функции  в ряд Лорана с центром в конечной точке  при .

[9] , где  - коэффициент разложения функции  в ряд Лорана с центром в бесконечности.

 

 

 

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

аконкагуа: аконкагуа стоимость - описание