Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

Вычисление несобственных интегралов

     ~           ~       

Утверждение. Пусть R(x, y) - рациональная функция двух действительных переменных. Тогда справедливы равенства

Действительно, замена z = e^ix переводит отрезок      в окружность |z| = 1,
.
При этом:  

В результате имеем формулу, сопоставляющую интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:  

ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла.

Замечание. Для вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, за исключением некоторых частных случаев, применяется замена tg(1/2)= t ("универсальная" подстановка) и интеграл приводится к интегралу от рациональной дроби.

Утверждение. Пусть функция  
где P_n(x) и Q_m(x) - многочлены степени n и m (n = const, m = const), удовлетворяет условиям:
1. (m - n) больше или равно 2.
2. Q_m(x) не равна 0 при x, принадлежащим области действительных чисел.
Тогда справедливы равенства:


Здесь z_k, k = 1,2,..., p - все особые точки функции R(z), расположенные выше оси Ох (Im z_k> 0) в случае формулы (1) и ниже оси Ох (Im z_k< 0) в случае формулы (1.2).

Замечание. Если R(z) - четная функция, то можно, используя формулы (1.1) и (1.2), вычислить интеграл вида  

Пример 1. Вычислить интеграл:  

Положим z = e ^ix, тогда cos x = (z + z - 1)/2. Вычислим dz = d(e ^ix), откуда dx = (dz)/(iz), а исходный интеграл запишется в виде:

Так как при |a|<1, подинтегральная функция      внутри круга  
имеет один полюс первого порядка в точке z = a.
Поскольку  
будем иметь

Пример 2.1. Вычислить интеграл:  
Рассмотрим функцию  

Она является аналитической функцией, имеющей полюсы второго порядка в точках      и в бесконечности имеет нуль второго порядка.
Согласно формуле (1.1) имеем

Пример 2.2. Вычислить интеграл:  

Используя результаты вычисления интеграла в примере 2.1 (обозначив его как I₁), вычислим данный интеграл:  

Пример 3.1. Вычислить интеграл:  

Функция      в точке z, равной бесконечности, имеет нуль первого порядка и на действительной оси не имеет особых точек.

Особые точки функции z₁ = 1 + i,    z₂ = 1 - i.
Поскольку      вычисляем вычет в точке z₁ = (1 + i) - простом полюсе функции R(z) e^iz:

Для заданного интеграла по формуле (2.1) получаем результат

Пример 3.2. Вычислить интеграл:  

Так как      поэтому, используя результат примера 3.1, получаем:

Пример 3.3. Вычислить интеграл:  

Так как      то используя результат примера 3.1, получаем:

т.к. для четной функции имеет место равенство:   

ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла.

Утверждение. Пусть R(x) - рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси, для которой точка z, равная бесконечности, - нуль порядка не ниже первого (т.е. (m - n) больше или равно 1). Тогда справедливы формулы:

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

Платформу клиент-сервер | ActiveX-компоненты | Базы данных | Конструктор форм | Электро | ТОЭ | Linux | Интегралы | Лекции физика | Windows 2003 | Архитектура ЭВМ | Рисунок | Световые волны | Операционные системы

Delphi | Начертательная геометрия | Построение проекции | Линии | Практикум по черчению | Поверхность | Инженерная графика | КС| Visual

Решение задач |Типы задач | Математика | Многогранники | Чертежи | Изображения | Нанесение размеров | Эскизы | Сборочный чертеж

Pascal | Эксперт | Учебник Java | Кодирование | Пефирия ПК | Информатика | Сети | Моделирование | Язык SQL Расчет надежности | Задачи

Стандарты управления проектом. Экологический аудит реферат.