Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Вычисление несобственных интегралов

     ~           ~       

Утверждение. Пусть R(x, y) - рациональная функция двух действительных переменных. Тогда справедливы равенства

Действительно, замена z = e^ix переводит отрезок      в окружность |z| = 1,
.
При этом:  

В результате имеем формулу, сопоставляющую интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:  

ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла.

Замечание. Для вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, за исключением некоторых частных случаев, применяется замена tg(1/2)= t ("универсальная" подстановка) и интеграл приводится к интегралу от рациональной дроби.

Утверждение. Пусть функция  
где P_n(x) и Q_m(x) - многочлены степени n и m (n = const, m = const), удовлетворяет условиям:
1. (m - n) больше или равно 2.
2. Q_m(x) не равна 0 при x, принадлежащим области действительных чисел.
Тогда справедливы равенства:


Здесь z_k, k = 1,2,..., p - все особые точки функции R(z), расположенные выше оси Ох (Im z_k> 0) в случае формулы (1) и ниже оси Ох (Im z_k< 0) в случае формулы (1.2).

Замечание. Если R(z) - четная функция, то можно, используя формулы (1.1) и (1.2), вычислить интеграл вида  

Пример 1. Вычислить интеграл:  

Положим z = e ^ix, тогда cos x = (z + z - 1)/2. Вычислим dz = d(e ^ix), откуда dx = (dz)/(iz), а исходный интеграл запишется в виде:

Так как при |a|<1, подинтегральная функция      внутри круга  
имеет один полюс первого порядка в точке z = a.
Поскольку  
будем иметь

Пример 2.1. Вычислить интеграл:  
Рассмотрим функцию  

Она является аналитической функцией, имеющей полюсы второго порядка в точках      и в бесконечности имеет нуль второго порядка.
Согласно формуле (1.1) имеем

Пример 2.2. Вычислить интеграл:  

Используя результаты вычисления интеграла в примере 2.1 (обозначив его как I₁), вычислим данный интеграл:  

Пример 3.1. Вычислить интеграл:  

Функция      в точке z, равной бесконечности, имеет нуль первого порядка и на действительной оси не имеет особых точек.

Особые точки функции z₁ = 1 + i,    z₂ = 1 - i.
Поскольку      вычисляем вычет в точке z₁ = (1 + i) - простом полюсе функции R(z) e^iz:

Для заданного интеграла по формуле (2.1) получаем результат

Пример 3.2. Вычислить интеграл:  

Так как      поэтому, используя результат примера 3.1, получаем:

Пример 3.3. Вычислить интеграл:  

Так как      то используя результат примера 3.1, получаем:

т.к. для четной функции имеет место равенство:   

ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла.

Утверждение. Пусть R(x) - рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси, для которой точка z, равная бесконечности, - нуль порядка не ниже первого (т.е. (m - n) больше или равно 1). Тогда справедливы формулы: