Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы проститутки|проститутки киев москвы, проститутка, шлюха киева. Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа. Комплекснозначная функция f(t), tÎ(-¥,¥) называется оригиналом, если

1) f(t)=0 при t<0

2) в "(a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица

|f(t+h)-f(t)|£A|h|^a, для всех h,|h|£h₀, a£1 на интервалах непрерывности функции

3) $M $s "t: |f(t)|£Me^st (*)

Число , S – множество тех s, для которых выполенно условие (*), называется показателем роста оригинала.

Пример. Функция Хевисайда

является оригиналом нулевого показателя роста.

Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+is, определяемую равенством

Пишут F=L[f], F ¸ f, f ¸ F.

Свойства преобразования Лапласа. Далее в этом разделе везде под f(t) понимается f(t)H(t).

Преобразования Лапласа простейших функций: ,

Свойство линейности af(t)+bg(t)¸aF(p)+bG(p).

Свойство подобия. При a>0

Свойство запаздывания. Для t>0 f(t-t)¸e^-ptF(p).

Дифференцирование изображения F⁽ⁿ⁾(p)¸(-1)ⁿtⁿf(t).

Дифференцирование оригинала f¢(t)¸pF(p)-f(0).

Следствие. f⁽ⁿ⁾(t)¸pⁿF(p)-p^{n-1f(0)-pn-2f}¢(0)-…-f^(n-1)(0)

Интегрирование изображения

Если f(t)¸F(p), Re p > s₀ и - оригинал, то

Интегрирование оригинала.

Если f(t)¸F(p), Rep > s₀, то

Свертка оригиналов и умножение изображений.

Свертка определяется по формуле . Отметим, что f*g=g*f. f*g¸F(p)G(p)

Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.

Умножение оригиналов, свёртка изображений

Таблица основных свойств преобразования Лапласа

		af(t)+bg(t)¸aF(p)+bG(p)
a>0 ,	t>0, f(t-t)¸e^-p^tF(p)	F(p-l)¸e^l^tf(t)
	f’(t)¸pF(p)-f(0),	f^(n)(t)¸p^nF(p)-p^n-1f(0)-…-f(n-1)(0)

Таблица некоторых преобразований Лапласа

	Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение
1	t^a (a>-1)		11	ch wt
2	e^-^l^t		12
3	e^-^l^t t^a (a>-1)		13
4	sin wt		14
5	cos wt		15
6	t^n sin wt		16
7	t^n cos wt		17
8	e^-^l^t sin (wt+a)		18
9	e^-^l^t cos (wt+a)		19
10	sh wt		20

Пример 1. x¢¢+a²x=bsinat, общие начальные данные x₀, x₁,

, поэтому

Согласно 5 из таблицы ,

согласно 4 из таблицы ,

согласно 6 из таблицы , отсюда, используя свойство интегрирования оригинала, получим , откуда

Окончательно

Пример 2. x¢¢¢+3x¢¢+3x¢+x=1, нулевые начальные условия.

(p+1)³X(p)=1/p,. Откуда

Пример 3. x¢¢¢+x=1, нулевые начальные условия.

Оригинал находим по второй теореме Хевисайда

Пример 3. x¢¢¢+x=1, нулевые начальные условия.

,

По второй теореме Хевисайда

Пример 4. , нулевые условия. Используя 4 из таблицы, получим . По второй теореме Хевисайда

=

Пример 5. x’’+w²x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.

, по второй теореме Хевисайда

Свойство запаздывания дает Окончательно

Пример 6.

x¢+ax=f(t), нулевые условия

Купить сварочный инвертор выгодно. В каталоге профессиональные инверторы по цене дилера.
установить замки в двери, установка замков на двери
Юрист online! Консультации , электронная библиотека, образцы документов