Начертательная геометрия Практикум по решению задач Бухгалтерская фирма Русский стиль оказывает услуги по обязательному аудиту Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Магазины - цветы - букеты свадебные москва. Нежные цветы для невесты. Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа. Комплекснозначная функция f(t), tÎ(-¥,¥) называется оригиналом, если

1) f(t)=0 при t<0

2) в "(a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица

|f(t+h)-f(t)|£A|h|^a, для всех h,|h|£h₀, a£1 на интервалах непрерывности функции

3) $M $s "t: |f(t)|£Me^st (*)

Число , S – множество тех s, для которых выполенно условие (*), называется показателем роста оригинала.

Пример. Функция Хевисайда

является оригиналом нулевого показателя роста.

Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+is, определяемую равенством

Пишут F=L[f], F ¸ f, f ¸ F.

Свойства преобразования Лапласа. Далее в этом разделе везде под f(t) понимается f(t)H(t).

Преобразования Лапласа простейших функций: ,

Свойство линейности af(t)+bg(t)¸aF(p)+bG(p).

Свойство подобия. При a>0

Свойство запаздывания. Для t>0 f(t-t)¸e^-ptF(p).

Дифференцирование изображения F⁽ⁿ⁾(p)¸(-1)ⁿtⁿf(t).

Дифференцирование оригинала f¢(t)¸pF(p)-f(0).

Следствие. f⁽ⁿ⁾(t)¸pⁿF(p)-p^{n-1f(0)-pn-2f}¢(0)-…-f^(n-1)(0)

Интегрирование изображения

Если f(t)¸F(p), Re p > s₀ и - оригинал, то

Интегрирование оригинала.

Если f(t)¸F(p), Rep > s₀, то

Свертка оригиналов и умножение изображений.

Свертка определяется по формуле . Отметим, что f*g=g*f. f*g¸F(p)G(p)

Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.

Умножение оригиналов, свёртка изображений

Таблица основных свойств преобразования Лапласа

		af(t)+bg(t)¸aF(p)+bG(p)
a>0 ,	t>0, f(t-t)¸e^-p^tF(p)	F(p-l)¸e^l^tf(t)
	f’(t)¸pF(p)-f(0),	f^(n)(t)¸p^nF(p)-p^n-1f(0)-…-f(n-1)(0)

Таблица некоторых преобразований Лапласа

	Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение
1	t^a (a>-1)		11	ch wt
2	e^-^l^t		12
3	e^-^l^t t^a (a>-1)		13
4	sin wt		14
5	cos wt		15
6	t^n sin wt		16
7	t^n cos wt		17
8	e^-^l^t sin (wt+a)		18
9	e^-^l^t cos (wt+a)		19
10	sh wt		20

Пример 1. x¢¢+a²x=bsinat, общие начальные данные x₀, x₁,

, поэтому

Согласно 5 из таблицы ,

согласно 4 из таблицы ,

согласно 6 из таблицы , отсюда, используя свойство интегрирования оригинала, получим , откуда

Окончательно

Пример 2. x¢¢¢+3x¢¢+3x¢+x=1, нулевые начальные условия.

(p+1)³X(p)=1/p,. Откуда

Пример 3. x¢¢¢+x=1, нулевые начальные условия.

Оригинал находим по второй теореме Хевисайда

Пример 3. x¢¢¢+x=1, нулевые начальные условия.

,

По второй теореме Хевисайда

Пример 4. , нулевые условия. Используя 4 из таблицы, получим . По второй теореме Хевисайда

=

Пример 5. x’’+w²x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.

, по второй теореме Хевисайда

Свойство запаздывания дает Окончательно

Пример 6.

x¢+ax=f(t), нулевые условия