Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Дифференцирование функций комплексного переменного

Производная функции комплексного переменного определяется, как и производная в действительной области:

Здесь
z0, Dz _  комплексные и Df(z0) = f(z0+Dz) - f(z).

Используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости следующих правил дифференцирования.

1. Сумма и произведение дифференцируемых в точке функций,  есть функция и справедливы равенства:

2. Частное дифференцируемых в точке функций, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю, есть дифференцируемая в этой точке функция, :

3. Сложная функцияf(j (z)) дифференцируема в точке z0, если в этой точке дифференцируема функция j (z), а функция f(u) дифференцируема в точке u0,
где u0 = j (z0) и u = j (z). При этом в точке z0 имеет место формула:

Для элементарных функций комплексного переменного справедливы формулы дифференцирования, установленные для действительных значений аргумента.
Например, рассмотрим функцию  f(z) = z3.
По определению производной для любой точки z, принадлежащей комплексной области, записываем:

Предел существует для любой точки z, принадлежащей комплексной области и
(z3)' =3z2.
Аналогично можно получить:
(zn)' = nzn-1 (n - действительное число).

Если f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y), т.е. u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z),
то справедливы следующие утверждения:

1. Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей
u(x, y) = Re f(z),   v(x, y) = Im f(z)
и выполняется условие Коши-Римана:

2. Если u(x, y)  и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0, y0) (имеют непрерывные частные производные в этой точке) и выполняется условие Коши-Римана, то функция   f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y)  дифференцируема в точке z0 = x0+ iy0.

3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:

Пример 1. Значение производной функции комплексного переменного в точке.
Дана функция  f(z) = z³. Вычислим значение  f ' (z) в точке z₀=1+i, ее модуль и аргумент.
Поскольку
(z³)' =3z², то
f '(z₀) = 3z₀²;   |f '(z₀)| = 3| z₀|²;   arg f ' (z₀) = 2arg z₀,
имеем:

то
f ' (1+ i) = 3(1+ i)² = 6i, |f ' (1+ i)| = 6, arg f ' (1+ i) = p/2.
Иначе:

Пример 2. Исследование дифференцируемости функции.

Дана функция f(z) = |z|².
Находим   u(x, y) = Re f(z) = x² + y²,  v(x, y) =Im f(z)=0.
Определяем частные производные:

Условия Коши-Римана выполняются только при x = y = 0, т.е. в точке
z = 0. Непрерывность частной производной очевидна. Следовательно, функция f(z) = |z|² дифференцируема только в нуле (в точке z = 0).

Пример 3. Исследование дифференцируемости функции, вычисление производной.

Дана функция f(z) = e^z.
Из равенства e^z = e^x (cosy + isiny) находим
u(x, y) = e^x cosy,  v(x, y) = e^x siny.
Находим частные производные:

Условия Коши-Римана выполняются в любой точке z, принадлежащей комплесной области, и частные производные непрерывны повсюду. Следовательно, функция e^z дифференцируема всюду в комлексной области.
Используя найденные частные производные, записываем производную функции:

Ремонт отделка квартир офисов ;Ищете качественные шины: летние шины dunlop . Ищешь шину летнюю?