
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Интеграл от функций комплексного переменного

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где - точка, произвольно выбранная на дуге разбиения кривой,
- приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
- шаг разбиения,
- длина хорды, соединяющей концы дуги ,
кривая l разбивается произвольным образом на n частей , k=1,2...n.
На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки.

В случае замкнутой кривой l = C

интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром С.
Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.

1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных - примененяются формулы:

где f(z) = u + iv, u = Re f(z), v = Im f(z).

2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования l задается в параметрической форме z =z(t)) - применяется формула:

image109 (572 bytes) .

3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях - примененяеется формула:

image110 (791 bytes)
где F(z) - первообразная для f(z).

Пример 1. Вычислить интеграл , где:
а). l - прямая, соединяющая точки z₁= 0 и z₂= 1+i;
б). l - ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).

Решение.
а). Путь интегрирования l - прямая, соединяющая точки z₁=0и z₂ = 1+i.
Применяем к вычислению интеграла 1-й способ (формула (1)). Подинтегральное выражение имеет вид
Rezdz = x(dx+idy) = xdx + ixdy. Поэтому:

Уравнение отрезка прямой, соединяющей точки z₁=0и z₂= 1+i имеет вид
y= x, .
Получаем:
image117 (785 bytes)

б). Путь интегрирования l - ломанаяОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).
Так как путь интегрирования состоит из двух отрезков, записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

и каждый из этих двух интегралов вычисляем, как выше.

Для отрезка ОВ имеем: y= 0, ,
а для отрезка ВА: х= 1, .
Тогда:
image120 (985 bytes)

Заметим, что подинтегральная функция в данном примере - функция не аналитическая, поэтому интегралы по двум различным кривым, соединящим две данные точки, могут иметь различные значения, что и продемонстрировано в этом примере.

Пример 2. Вычислить интеграл
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = e^it,
Тогда
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл от аналитической функции
Применяем формулу (3), первообразную находим, используя методы интегрирования действительного анализа:
image126 (1119 bytes)

Интегральная формула Коши

Пусть задана аналитическая функция f в области D, ограниченной конечным числом кривых. Тогда в любой точке функция f представима в виде

где - ориентированная граница D. Интеграл в правой части равенства называется интегралом Коши.

1. Вычислить интеграл

если 3i лежит внутри контура C, а точка –3iвнеего.

Решение. Представим интеграл I в виде интеграла Коши

2. Вычислить интеграл из примера 1, если контур C представляет собой окружность с центром в начале координат и радиуса 4.

Решение. Область, ограниченную данным контуром разобьем отрезком :[4i,-4i] на две области D₁,D_2. Представим интеграл I в виде суммы двух интегралов

Здесь A– левая полуокружность, проходимая против часовой стрелки, B-правая полуокружность, проходимая против часовой стрелки, E-отрезок [-4i,4i], F-отрезок [4i,-4i], AE=A+E, FB=F+B. Интегралы в правой части полученного равенства можно представить в виде интегралов Коши.

Таким образом, вычисляемый интеграл равен нулю.

3. Вычислить интеграл

если точка a лежит внутри контура C.

Решение. Рассмотрим интеграл Коши

Дифференцируя это равенство дважды получим

Откуда следует, что

4. Вычислить интеграл

если точка 0 лежит внутри контура C, а точка 1 вне контура C.

Решение. Данный интеграл является интегралом Коши для функции e^z/(1-z)³, поэтому он равен e^z/(1-z)³, при z=0, таким образомI=1.

5. Вычислить интеграл из примера 4

если точка 1 лежит внутри контура C, а точка 0 лежит вне контура C.

Решение. Рассмотрим интеграл Коши

Дифференцируя это равенство дважды получим

Откуда

6. Вычислить интеграл из примера 4

если обе точки 0 и 1 лежат внутри контура C.

Решение. Разрежем область, ограниченную контуром на две с помощью некоторой кривой так, чтобы 0 попал в одну половину, а 1 в другую. Требуемый интеграл можно представить в виде суммы двух, вычисленных в предыдущих примерах. Поэтому в результате получим 1 – e/2.

7. Вычислить интеграл