|
| ||
|
|
||
|
| ||
|
|
| ТФКП - теория и функция комплексного переменного |
|
Интеграл от функций комплексного переменного
Интегралом
от функции комплексного переменного
называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена
на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой
или кусочно-гладкой:
где 
- точка, произвольно выбранная на дуге 
разбиения
кривой,
-
приращение аргумента функции на этом участке разбиения, 
-
шаг разбиения, 
-
длина хорды, соединяющей концы дуги ,
кривая l разбивается произвольным образом на n
частей ,
k=1,2...n.
На кривой выбрано направление, т.е.
указаны начальная и конечная точки.
В
случае замкнутой кривой l
= C
интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода,
оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром С.
Существует несколько
способов вычисления интегралов в комплексной области.
1
способ. Интеграл вычисляется сведением к
криволинейным интегралам от функций действительных переменных - примененяются
формулы:
где
f(z) = u + iv, u = Re f(z), v = Im f(z).
2
способ. Интеграл вычисляется сведением к
определенному интегралу (путь интегрирования l
задается в параметрической форме z
=z(t))
- применяется формула:
.
3
способ. Вычисление интегралов от аналитической
функции в односвязных областях - примененяеется формула:
где F(z) - первообразная для f(z).
Пример
1. Вычислить интеграл 
,
где:
а). l - прямая,
соединяющая точки z1= 0 и z2 =
1+i;
б). l - ломаная ОВА,
О(0,0), В(1,0), А(1,1).
Решение.
а). Путь интегрирования l
- прямая, соединяющая точки z1=0и z2
= 1+i.
Применяем к вычислению интеграла 1-й способ (формула (1)). Подинтегральное
выражение имеет вид
Rezdz
= x(dx+idy)
= xdx
+ ixdy.
Поэтому:
Уравнение отрезка прямой, соединяющей точки z1=0и
z2 = 1+i имеет вид
y=
x, 
.
Получаем:
б).
Путь интегрирования l - ломанаяОВА,
О(0,0), В(1,0), А(1,1).
Так как путь интегрирования состоит
из двух отрезков, записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:
и каждый из этих двух интегралов вычисляем, как выше.
Для
отрезка ОВ имеем: y= 0, ,
а для отрезка ВА: х= 1, 
.
Тогда:
Заметим,
что подинтегральная функция в данном примере - функция
не аналитическая, поэтому интегралы по двум различным кривым, соединящим
две данные точки, могут иметь различные значения, что
и продемонстрировано в этом примере.
Пример
2. Вычислить интеграл 
l
- верхняя полуокружность |z| = 1, обход l
против часовой стрелки.
Подинтегральная
функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция.
Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l
имеет простое параметрическое представление:
z = eit,
Тогда 
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:
Пример
3. Вычислить интеграл от аналитической
функции 
Применяем формулу (3), первообразную находим, используя методы интегрирования
действительного анализа:
Интегральная формула Коши
Пусть
задана аналитическая функция f в области D,
ограниченной конечным числом кривых. Тогда в любой точке 
функция f представима в виде
,
где
- ориентированная граница D. Интеграл в правой
части равенства называется интегралом Коши.
1. Вычислить интеграл
,
если 3i лежит внутри контура C, а точка –3iвнеего.
Решение. Представим интеграл I в виде интеграла Коши
2. Вычислить интеграл из примера 1, если контур C представляет собой окружность с центром в начале координат и радиуса 4.
Решение.
Область, ограниченную данным контуром разобьем отрезком 
:[4i,-4i]
на две области D1,D2.
Представим интеграл I в виде суммы двух интегралов
.
Здесь A– левая полуокружность, проходимая против часовой стрелки, B-правая полуокружность, проходимая против часовой стрелки, E-отрезок [-4i,4i], F-отрезок [4i,-4i], AE=A+E, FB=F+B. Интегралы в правой части полученного равенства можно представить в виде интегралов Коши.
Таким образом, вычисляемый интеграл равен нулю.
3. Вычислить интеграл
,
если точка a лежит внутри контура C.
Решение. Рассмотрим интеграл Коши
Дифференцируя это равенство дважды получим
,
Откуда следует, что
,
4. Вычислить интеграл
,
если точка 0 лежит внутри контура C, а точка 1 вне контура C.
Решение. Данный интеграл является интегралом Коши для функции ez/(1-z)3, поэтому он равен ez/(1-z)3, при z=0, таким образомI=1.
5. Вычислить интеграл из примера 4
если точка 1 лежит внутри контура C, а точка 0 лежит вне контура C.
Решение. Рассмотрим интеграл Коши
Дифференцируя это равенство дважды получим
,
Откуда
,
6. Вычислить интеграл из примера 4
если обе точки 0 и 1 лежат внутри контура C.
Решение. Разрежем область, ограниченную контуром на две с помощью некоторой кривой так, чтобы 0 попал в одну половину, а 1 в другую. Требуемый интеграл можно представить в виде суммы двух, вычисленных в предыдущих примерах. Поэтому в результате получим 1 – e/2.
7. Вычислить интеграл
C-верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 10.
Решение. Данный интеграл является интегралом Коши для функции
f(z)=1/(z
+ ia) и u = ia
Поэтому I = f(ia) = 1/(2ai).
8. Вычислить интеграл
C-верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 10.
Решение. Отметим, что
Продифференцируем это равенство
Таким образом
9. Вычислить интеграл
C-верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиуса 10.
Решение. Представим интеграл в виде
Учитывая
результаты примеров 8 и 9, получим
| ТФКП - теория и функция комплексного переменного |
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||