Начертательная геометрия Практикум по решению задач Предлагаем тесты экзамены сдача toefl ibt подготовка с доставкой по Москве и России Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Определение нуля. Нуль порядка n. Простой нуль. Необходимое и достаточное условия нуля порядка n Порядок нуля произведения анал. функций

Пусть функция f (z) является аналитической в точке z₀. Точка z₀ называется нулем функции f (z), если ее значение в этой точке равно нулю, т.е.   f (z₀) = 0.
В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции (т. z₀) отсутствует свободный член:   С₀ = f(z₀) = 0.
Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-z₀) до n-ой степени, т.е. разложение имеет вид: или то точка z₀ называется нулем порядка nфункции f(z).

Нуль первого порядка (n = 1) называется простым нулем.

Следующие условия являются необходимым и достаточным условиями нуля порядка n функции f (z) в точке z₀:
a).
b). представление функции в виде произведения:

Порядок нуля в точке z₀ функции, полученной в результате перемножения аналитических функций
f (z) = f₁(z) f₂(z) равен сумме порядков нуля (n₁ + n₂) в этой точке функций сомножителей
( n₁ - порядок нуля в точке z₀ функции f₁(z),    n₂ - порядок нуля в точке z₀ функции f₂

Пример 1. Определить порядок нуля z₀ для функции f (z) = e^z -1-z.

Решение.  Разложим функцию f (z) по степеням z:
e^z-1- z = (1 + z + z²/2! + z³/3! +...) - 1 - z = z²/2! + z³/3! +...
Так как в полученном разложении коэффициент С₂ = 1/2, т.е. не равен нулю, а предыдущие равны нулю С₀ = С₁ = 0, то заключаем, что точка z₀ = 0 является нулем порядка n = 2 для заданной функции.

Пример 2. Найти нули функции и определить их порядок:
f (z) = (z⁴+2z+1)²(z²-2z+2).

Решение.  Раскладываем f(z) (многочлен) на множители:
f (z) = (z-i)⁴(z+i)²(z-(1+i))(z-(1+i)).

Находим нули функции: z₁ = i, z₂ = -i, z₃ = 1+i, z₄ = 1-i.

Определяем порядок каждого нуля.

Для точки z₁ = i из равенства

получаем, что z₁ = i - нуль 4-го порядка.

Для точки z₂ = -i аналогично находим, что это нуль 4-го порядка:

Из равенства

получаем, что z₃ = 1+i - простой нуль.

Аналогично из

имеем  z₄ = 1-i  тоже простой нуль для f(z).

Уточним:

Пример 3. Найти нули функции и определить их порядок:
f (z) = 1+ch z.

Решение.  Решая уравнение 1+ch z = 0, имеем:

Находим производные заданной функции и их значения в точках z_k:
Так как
f (z_k) = f '(z_k) = 0 и то
является нулями второго порядка функции
f (z) = 1 + ch z.

Пример 4. Определить порядок нуля z₀ = 0 функции:
.

Решение.  Функция f (z) задана в виде произведения двух функций:
f (z) = f₁(z)f₂(z), где
Вычисляем порядок нуля в точке z₀ = 0 для третьего сомножителя f₁(z).
Записываем f₁(z) в виде:

Следовательно, z₀ = 0 является нулем 4-го порядка (n₁ = 4) для функции f₁(z).

Для функции f₂(z) = sin z точка z₀ = 0 - нуль первого порядка, т.к. sin'(0) = cos(0) = 1 (т.е. не равно нулю). Поэтому, учитывая, что  f₂(z) = sin⁵ z = sinz sinz sinz sinz sinz, получаем, что z₀ = 0 - нуль 5-го порядка (n₂ = 5) порядка для f₂(z).

Поскольку f (z) = f₁(z) f₂(z), то получаем, что точка z₀ = 0 является нулем 9-го порядка заданной функции, т.к. n = n₁ + n₂ = 4+5 = 9.

Солнцезащитные новинки из Италии - солнцезащитная пленка . ;Английский язык? Учим бесплатно: английский язык для детей . Еврейская детская академия. ;Женская и мужская одежда, обувь: спортивное питание петербург . Ищешь Спортивное питание? ;Все виды Жалюзи и Штор - вертикальные тканевые жалюзи . Выбираете жалюзи?