Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Изолированная особая точка. Устранимая особая точка. Полюс. Существенно особая точка. Порядок полюса

 

Точка z₀, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f(z), если такая, что f(z) является однозначной аналитической функцией в (в самой точке аналитичность f(z) нарушается).

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) называется:

·                                 устранимой особой точкой, если  существует и конечен;

·                                 полюсом, если ;

·                                 существенно особой точкой, если   не существует.

 

Для того чтобы особая точка функции f(z) была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z₀ - устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f(z) имеет вид: (1)
для z₀ - конечной точки, принадлежащей области комплексных чисел.

Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.

Ряд Лорана функции f(z) в случае z₀-полюс имеет вид:
(2)
если z₀ принадлежит области комплексных чисел.

Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.
Так, точка z₀ является полюсом порядка n функции f(z), если в разложении (2) , C_k = 0 при k < -n.

Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции f(z) в случае z₀ - существенно особой точки имеет вид: (3)
если z₀ принадлежит области комплексных чисел.

Пример 1. Найти все конечные особые точки функции .

Решение.
Поскольку числитель и знаменатель дроби - аналитические функции, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. корни уравнений и - шесть точек .

Очевидно, что все эти точки изолированные и являются полюсами, т.к. для каждой из них справедливо .

 

 

Пример 2. Найти все конечные особые точки функции   и определить их тип.

Решение.
Поскольку числитель аналитическая функция, то особыми точками f(z) являются точка z₀ =0 и нули знаменателя - точки z_k , для которых
,
т.е.   .

Точки
очевидно, изолированные особые точки. Это полюсы, т.к. для каждой из них справедливо

Точка z₀ =0 не является изолированной особой точкое, т.к. в любой ее окрестности, кроме нее самой содержится бесконечное множество особых точек - точек

Такая особая точка называется предельной особой точкой полюсов z_k , ибо .

 

 

Пример 3. Определить тип особой точки z = 0 для функции .

Решение.
Точка z = 0 изолированная особая точка.

Поскольку и ,  т.е. не существует предел   в действительной области (z = x), то он не существует и в комплексной области, а это значит, что точка z = 0 - существенно особая точка функции .

 

 

Пример 4. Найти особые точки функции   и определить их тип.

Решение.
Поскольку числитель и знаменатель дроби - аналитические функции, то особыми точками являются нули знаменателя - точки z = 3 и z = -1.

Обе эти точки - простые нули знаменателя, т.е. они являются простыми полюсами функции f(z).

 

 

 

Пример 5. Найти особые точки функции  и определить их тип.

Решение.
Единственная особая точка функции - изолированная точка z = i.
Запишем (используя стандартное разложениедля экспоненты) разложение функции в ряд Лорана по степеням z - i:

Главная часть полученного разложения содержит бесконечное число членов, следовательно что точка z = i - существенно особая.

 

 

Пример 6. Найти все особые точки функции , определить их тип. Ответ обосновать.

 

, где функция  регулярна при всех . Поэтому особые точки функции  определяютя особыми точками функции  и нулями знаменателя .

Кандидаты в особые точки: ,  при 

  ,

   - нули знаменателя.   

‚  а) Покажем, что точка  является существенно особой[1] для функции :

пусть  , тогда , а , т.е. ;

пусть теперь  , тогда , а , т.е. .

Отметим попутно, что .

Следовательно,   - СОТ для .

  б)Аналогично, покажем, что точки  при  [2] являются существенно особыми для функции :

пусть  , тогда , а ,  т.е. , ;

пусть теперь  , тогда , а ,  т.е. , .

Отметим попутно, что . Но , а

Следовательно,  ,  - СОТ для .

ƒОставшиеся нули знаменателя не совпадают с нулями числителя и являются полюсами[3] функции . Определим их порядок.

  Œ - нуль первого порядка функции , т.к. в этой точке числитель , то для функции  точка  - полюс 1-го порядка (ПП – простой полюс).

  Рассмотрим точки ,  - нули , где . Т.к. , то  = , то это нули первого порядка знаменателя.   

  Таким образом, ,  - полюсы 1-го порядка (ПП – простые полюсы) для функции .

„ - неизолированная особая точка