Теорема Тейлора. Степенной ряд. Основные разложения

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z0 этой области представляется в виде степенного ряда:
(1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z0 до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

(2)

где - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z0 (в частности, - окружность ), или по формуле:

(3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

Основные разложения.

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

  (z принадлежит области комплексных чисел);

 Пример 1. Записать разложение по степеням z функции f (z) = chz.

Найдем производные функции:
f⁽ⁿ⁾ (z) = ch⁽ⁿ⁾z = chz при n= 2k,
f⁽ⁿ⁾ (z) = ch⁽ⁿ⁾z = shz при n= 2k-1.

В данном примере z₀ = 0. По формуле (3) имеем:
C_n = 0 при n = 2k; C_n= 1/n! при n = 2k-1;
.

Так как chz - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:
(z принадлежит области действительных чисел).

Пример 2. Разложить по степеням (z-3) функцию f(z) = sinz.

Обозначим z-3 = t. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t) = sin3 cost+cos3 sint.

Используя основные разложения, имеем:

Так как t = z-3, то   

т.е.   

где       

Пример 3. Разложить по степеням z функцию   

Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:

Раскладываем элементарные дроби по степеням z:

Для исходной дроби получаем разложение:

или, складывая ряды:

Окончательный ответ:

Пример 4. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0 функцию

Решение. Воспользуемся стандартным разложением

и продифференцируем данное равенство дважды

,

.

Умножая полученный ряд на z² получим требуемое разложение

.

Радиус сходимости полученного ряда равен 1.

Пример 5. Разложить в ряд Тейлора по степеням z – b функцию f(z) = 1/(z²+a²), где a > 0.

Решение. Разложим заданную функцию на элементарные дроби

Для каждой из полученных дробей находим лорановские разложения

,

где c = b – ia. Аналогично, получаем разложение для второй дроби

,

где d = b + ia. Объединяя оба разложения в один ряд Лорана, окончательно получим