Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ | ||
| | ||
Теорема Тейлора. Степенной ряд. Основные разложения
Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).
Функция,
аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z0 этой
области представляется в виде степенного ряда:
(1)
радиус
сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки
z0 до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.
Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:
(2)
где
-
произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z0 (в частности,
-
окружность 
),
или по формуле:
(3)
Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки функции.
Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:
Основные разложения.
(z
принадлежит области комплексных чисел);
(z
принадлежит области комплексных чисел);
(z
принадлежит области комплексных чисел);
(z
принадлежит области комплексных чисел);
(z
принадлежит области комплексных чисел);
Пример 1. Записать разложение по степеням z функции f (z) = chz.
Найдем
производные функции:
f(n)
(z) = ch(n)z
= chz при n=
2k,
f(n)
(z) = ch(n)z
= shz при n=
2k-1.
В данном примере z0
= 0. По формуле (3) имеем:
Cn =
0 при n = 2k; Cn=
1/n! при n =
2k-1;
.
Так
как chz - аналитическая
функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности.
В результате имеем:(z
принадлежит области действительных чисел).
Пример 2. Разложить по степеням (z-3) функцию f(z) = sinz.
Обозначим
z-3 = t. Используя тригонометрическую
формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t)
= sin3 cost+cos3 sint.
Используя основные разложения, имеем:
Так как t = z-3, то
т.е.
где
Пример
3. Разложить по степеням z
функцию 
Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:
Раскладываем элементарные дроби по степеням z:
Для исходной дроби получаем разложение:
или, складывая ряды:
Окончательный ответ:
Пример 4. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0 функцию
Решение. Воспользуемся стандартным разложением
и продифференцируем данное равенство дважды
,
.
Умножая полученный ряд на z2 получим требуемое разложение
.
Радиус сходимости полученного ряда равен 1.
Пример 5. Разложить в ряд Тейлора по степеням z – b функцию f(z) = 1/(z2+a2), где a > 0.
Решение. Разложим заданную функцию на элементарные дроби
Для каждой из полученных дробей находим лорановские разложения
,
где c = b – ia. Аналогично, получаем разложение для второй дроби
,
где d = b + ia. Объединяя оба разложения в один ряд Лорана, окончательно получим