ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Ряд Лорана. Теорема Лорана. Неравенство Коши.Разложение рациональных дробей

 

 Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце
r < | z - z0 | < R,    image229 (169 bytes)
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
image230 (398 bytes)         (1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: image231 (617 bytes)(2)
где image232 (63 bytes)- произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z0; в частности,
image232 (63 bytes)- окружность   image233 (258 bytes)

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями  image234 (309 bytes)называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
image235 (312 bytes) или   image236 (302 bytes)

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
image237 (393 bytes) где   image238 (285 bytes)
r  -  радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z0 (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z0 = 0, image239 (101 bytes)).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

 

 

Пример 1. Разложить функцию  image240 (283 bytes)  в ряд Лорана по степеням z.

Решение.Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z1 = -1 и z2 = 3. Запишем функцию в виде
image241 (335 bytes)

Кольца аналитичности |z| < 1, 1 < |z| < 3, |z| > 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:
image242 (565 bytes)

При |z| < 1 имеем:
image243 (540 bytes)
image244 (570 bytes)

Таким образом, в круге |z| < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:
image245 (1253 bytes)

В кольце 1 < |z| < 3:
image246 (1028 bytes)
image247 (564 bytes)

В итоге имеем:   image248 (677 bytes)

В круге |z| > 3:  
image249 (461 bytes)      image250 (755 bytes)

В итоге имеем:   image251 (963 bytes)

 

 

 

Пример 2. Разложить функцию f(z) = z3 . e1/z в окрестности точки z0 = 0.

Решение.Из основного разложения    image252 (482 bytes)получаем

image2531.gif (1877 bytes)

image2532.gif (946 bytes)

или
image254 (926 bytes)

 

Пример 3Разложить в ряд Лорана по степеням  функцию  в кольце, которму принадлежит точка .

Дроби правильные.

Находим корни уравнения : . Получаем два простых корня:  и .                                                                                       

Находим корни уравнения . Получаем два простых корня:  и .

Точки ,  и  являются особыми точками функции  (в них  не регулярна).

ƒ Разлагаем  на элементарные дроби:

Œ =  =  =

    :  ® æ              à          

    :                  à           à ä

 =  =  =

    :     ®  à æ

    :  à ä               à              

, т.е.  .

Для удобства дальнейших выкладок произведем замену  или :

,         

Кольца аналитичности:            ,

                                                                       ,

                                                                      .

При  получаем , .

Т.о., раскладывать дроби в ряд Лорана по степеням  будем в кольце , используя разложения в ряд Тейлора.

При этом .

Œ =  =  = .

 =  =  =  =  =

                               

Ответ: в кольце, которму принадлежит точка   

 

Пример 4Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности i и ¥.

Решение. . Для разложения функции в ряд воспользуемся тем, что она есть производная от функции . Дифференцируя этот ряд почленно, получим . Домножая полученное выражение наполучим .

Разложение функции f(z) в окрестности ¥. Положим , тогда F¢(z)=-2zf(z), . Найдем разложение функции F(z) в ряд Лорана в окрестности ¥. Имеем . Дифференцируя этот ряд почленно, получим . Откуда окончательно получаем , |z|>1.

 

 

Пример 5. Найти особые точки функции. Найти разложение функции в ряд Лорана в окрестности каждой особой точки.

Решение. Точка z = 0 является полюсом второго порядка, так как эта точка является нулем второго порядка функции z2 (z2 + 1). Для того, чтобы получить разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки воспользуемся стандартным разложением в ряд Тейлора бинома (геометрическая прогрессия)

откуда получаем лорановское разложение

Точки z = i, z = -i являются полюсами первого порядка, как нули функции z2 (z+ i)(z+ i).. Для того, чтобы получить разложение в ряд Лорана в окрестности точки i, воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции (z - i) f(z)

Разложение функции 1/z2 в ряд Тейлора получаем дифференцированием: f’(z)=-2/z3, f(n) = (-1)n(n+1)!/zn+2. Откуда

Разложение функции 1/(z+i) можно получить, как стандартное

.

Из полученных формул получаем разложение в ряд Лорана

.

 

 

Пример 6. Разложить в ряд по степеням z – 1 функцию f(z) = z/(z+2).

Решение. Воспользуемся стандартным разложением бинома для функции 1/(z+2) в окрестности точки 1.

Полученный ряд сходится в круге | z – 1 | < 3. Таким образом, для функции f(z) получим

.

Разложение справедливо в круге | z – 1 | < 3.

 

 

Пример 7. Разложить в ряд по степеням z – 1 функцию f(z) = z/(z2-2z+5).

Решение. Заданную функцию преобразуем следующим образом

В последнем равенстве использовано стандартное разложение для бинома. Полученный ряд имеет радиус сходимости равный 4. Производя некоторые преобразования, окончательно получим

Полученный ряд сходится в круге | z – 1 | < 4.

 


Пример 8. Функцию f(z) = (z2-2z+5)/((z-2)(z2+1)) разложить в ряд Лорана в окрестности точки z = 2 и в кольце 1 < | z | < 2.

Решение. Функция f(z) имеет в точке z = 2 полюс первого порядка, поэтому можно избавиться от этой особенности умножением этой функции на z – 2. Полученную таким образом функцию g(z) = (z – 2) f(z)  мы разложим в ряд Тейлора по степеням z – 2. Для разложения функции g(z) в ряд Тейлора воспользуемся формулами из предыдущего примера.

Функцию z2-2z+5 представим в виде

.

  Таким образом, требуемое разложение будет иметь вид

.

Для получения разложения в ряд Лорана в кольце 1 < | z | < 2 представим функцию f(z) в виде

.

Функцию 1/(z-2) раскладываем в ряд Тейлора в круге |z| < 2.

Функцию (z+2)/(z2+1) раскладываем в ряд по степеням z в окрестности бесконечности

 

 

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции