Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Ряд Лорана. Теорема Лорана. Неравенство Коши.Разложение рациональных дробей

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце
r < | z - z₀ | < R,   
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
         (1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z₀; в частности,
- окружность  

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями  называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
 или  

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
 где  
r  -  радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Пример 1. Разложить функцию    в ряд Лорана по степеням z.

Решение.Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z₁ = -1 и z₂ = 3. Запишем функцию в виде

Кольца аналитичности |z| < 1, 1 < |z| < 3, |z| > 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:

При |z| < 1 имеем:

Таким образом, в круге |z| < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:

В кольце 1 < |z| < 3:

В итоге имеем:  

В круге |z| > 3:  

В итоге имеем:  

Пример 2. Разложить функцию f(z) = z³ . e^1/z в окрестности точки z₀ = 0.

Решение.Из основного разложения    получаем

или

Пример 3Разложить в ряд Лорана по степеням  функцию  в кольце, которму принадлежит точка .

Дроби правильные.

Находим корни уравнения : . Получаем два простых корня:  и .                                                                                       

Находим корни уравнения . Получаем два простых корня:  и .

‚ Точки ,  и  являются особыми точками функции  (в них  не регулярна).

ƒ Разлагаем  на элементарные дроби:

Œ =  =  =

: ® æ à

: à à ä

 =  =  =

: ® à æ

: à ä à

, т.е.  .

„ Для удобства дальнейших выкладок произведем замену  или :

,         

Кольца аналитичности:            ,

,

.

… При  получаем , .

Т.о., раскладывать дроби в ряд Лорана по степеням  будем в кольце , используя разложения в ряд Тейлора.

При этом .

Œ =  =  = .

 =  =  =  =  =

Ответ: в кольце, которму принадлежит точка

Пример 4Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности i и ¥.

Решение. . Для разложения функции в ряд воспользуемся тем, что она есть производная от функции . Дифференцируя этот ряд почленно, получим . Домножая полученное выражение наполучим .

Разложение функции f(z) в окрестности ¥. Положим , тогда F¢(z)=-2zf(z), . Найдем разложение функции F(z) в ряд Лорана в окрестности ¥. Имеем . Дифференцируя этот ряд почленно, получим . Откуда окончательно получаем , |z|>1.

Пример 5. Найти особые точки функции. Найти разложение функции в ряд Лорана в окрестности каждой особой точки.

Решение. Точка z = 0 является полюсом второго порядка, так как эта точка является нулем второго порядка функции z² (z² + 1). Для того, чтобы получить разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки воспользуемся стандартным разложением в ряд Тейлора бинома (геометрическая прогрессия)

откуда получаем лорановское разложение

Точки z = i, z = -i являются полюсами первого порядка, как нули функции z² (z+ i)(z+ i).. Для того, чтобы получить разложение в ряд Лорана в окрестности точки i, воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции (z - i) f(z)

Разложение функции 1/z² в ряд Тейлора получаем дифференцированием: f’(z)=-2/z³, f⁽ⁿ⁾ = (-1)ⁿ(n+1)!/zⁿ⁺². Откуда

Разложение функции 1/(z+i) можно получить, как стандартное

.

Из полученных формул получаем разложение в ряд Лорана

.

Пример 6. Разложить в ряд по степеням z – 1 функцию f(z) = z/(z+2).

Решение. Воспользуемся стандартным разложением бинома для функции 1/(z+2) в окрестности точки 1.

Полученный ряд сходится в круге | z – 1 | < 3. Таким образом, для функции f(z) получим

.

Разложение справедливо в круге | z – 1 | < 3.

Пример 7. Разложить в ряд по степеням z – 1 функцию f(z) = z/(z²-2z+5).

Решение. Заданную функцию преобразуем следующим образом

В последнем равенстве использовано стандартное разложение для бинома. Полученный ряд имеет радиус сходимости равный 4. Производя некоторые преобразования, окончательно получим

Полученный ряд сходится в круге | z – 1 | < 4.

Пример 8. Функцию f(z) = (z²-2z+5)/((z-2)(z²+1)) разложить в ряд Лорана в окрестности точки z = 2 и в кольце 1 < | z | < 2.

Решение. Функция f(z) имеет в точке z = 2 полюс первого порядка, поэтому можно избавиться от этой особенности умножением этой функции на z – 2. Полученную таким образом функцию g(z) = (z – 2) f(z) мы разложим в ряд Тейлора по степеням z – 2. Для разложения функции g(z) в ряд Тейлора воспользуемся формулами из предыдущего примера.

Функцию z²-2z+5 представим в виде

.

Таким образом, требуемое разложение будет иметь вид

.

Для получения разложения в ряд Лорана в кольце 1 < | z | < 2 представим функцию f(z) в виде

.

Функцию 1/(z-2) раскладываем в ряд Тейлора в круге |z| < 2.

Функцию (z+2)/(z²+1) раскладываем в ряд по степеням z в окрестности бесконечности

отдых в карпатах цены
Чинне законодавство практично знищило фінансовий лізинг Вантажних.
электронные сигареты в Москве