|
| ||
|
|
||
|
| ||
|
|
| ТФКП - теория и функция комплексного переменного |
|
Ряд
Лорана. Теорема Лорана. Неравенство Коши.Разложение рациональных дробей
Теорема
Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).
Функция
f(z), аналитическая
в кольце
r < | z
- z0 | < R, 
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место
равенство:
(1)
Коэффициенты ряда вычисляются
по формуле: 
(2)
где 
-
произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z0;
в частности,
-
окружность 
Ряд
(1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется
рядом Лорана функции f(z).
Совокупность
членов ряда с неотрицательными степенями 
называется
правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют
главную часть ряда Лорана:
или
Для
коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство
Коши:
где
r
- радиус контура интегрирования в формуле (2).
На
границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции
f(z) - его суммы.
Частными
случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z0
(r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной
точки (z0 = 0, 
).
При
построении разложений в ряд Лорана
используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные
разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.
Пример
1. Разложить функцию 
в ряд Лорана по степеням z.
Решение.Так
как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя,
т.е. z1 = -1 и z2 = 3. Запишем функцию в виде
Кольца
аналитичности |z| <
1, 1 < |z| < 3, |z|
> 3.
Раскладываем дробь
на элементарные дроби:
При
|z| < 1 имеем:
Таким
образом, в круге |z| < 1 функция раскладывается
в ряд Тейлора:
В
кольце 1 < |z| < 3:
В
итоге имеем: 
В
круге |z| > 3:
В
итоге имеем: 
Пример
2. Разложить функцию f(z)
= z3 . e1/z
в окрестности точки z0 = 0.
Решение.Из
основного разложения 
получаем
или
Пример
3Разложить
в ряд Лорана по степеням 
функцию
в
кольце, которму принадлежит точка 
.
Дроби правильные.
Находим
корни уравнения 
:
.
Получаем два простых корня: 
и
.
Находим
корни уравнения 
.
Получаем два простых корня: 
и
.
‚
Точки ,
и
являются
особыми точками функции 
(в
них не
регулярна).
ƒ
Разлагаем на
элементарные дроби:
Œ
= 
=
=
:
®
æ
à
:
à
à
ä
= 
=
=
:
®
à
æ
:
à
ä
à
,
т.е. 
.
„
Для удобства дальнейших выкладок произведем замену 
или
:
,
Кольца
аналитичности
:
,
,
.
…
При получаем
,
.
Т.о., раскладывать дроби в ряд Лорана по степеням
будем
в кольце ,
используя разложения в ряд Тейлора.
При этом 
.
Œ
=
=
=
.
=
=
=
=
=
Ответ: в кольце, которму
принадлежит точка 
Пример
4Разложить
в ряд Лорана функцию 
в окрестности i
и ¥.
Решение.
. Для разложения функции 
в ряд воспользуемся тем, что она есть производная от функции
. Дифференцируя этот ряд почленно,
получим 
. Домножая полученное выражение на
получим 
.
Разложение
функции f(z)
в окрестности ¥.
Положим 
, тогда F¢(z)=-2zf(z),
. Найдем разложение функции F(z)
в ряд Лорана в окрестности ¥.
Имеем 
. Дифференцируя этот ряд почленно,
получим 
. Откуда окончательно получаем 
, |z|>1.
Пример 5. Найти особые точки функции. Найти разложение функции в ряд Лорана в окрестности каждой особой точки.
Решение. Точка z = 0 является полюсом второго порядка, так как эта точка является нулем второго порядка функции z2 (z2 + 1). Для того, чтобы получить разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки воспользуемся стандартным разложением в ряд Тейлора бинома (геометрическая прогрессия)
откуда получаем лорановское разложение
Точки z = i, z = -i являются полюсами первого порядка, как нули функции z2 (z+ i)(z+ i).. Для того, чтобы получить разложение в ряд Лорана в окрестности точки i, воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции (z - i) f(z)
Разложение функции 1/z2 в ряд Тейлора получаем дифференцированием: f’(z)=-2/z3, f(n) = (-1)n(n+1)!/zn+2. Откуда
Разложение функции 1/(z+i) можно получить, как стандартное
.
Из полученных формул получаем разложение в ряд Лорана
.
Пример 6. Разложить в ряд по степеням z – 1 функцию f(z) = z/(z+2).
Решение. Воспользуемся стандартным разложением бинома для функции 1/(z+2) в окрестности точки 1.
Полученный ряд сходится в круге | z – 1 | < 3. Таким образом, для функции f(z) получим
.
Разложение справедливо в круге | z – 1 | < 3.
Пример 7. Разложить в ряд по степеням z – 1 функцию f(z) = z/(z2-2z+5).
Решение. Заданную функцию преобразуем следующим образом
В последнем равенстве использовано стандартное разложение для бинома. Полученный ряд имеет радиус сходимости равный 4. Производя некоторые преобразования, окончательно получим
Полученный ряд сходится в круге | z – 1 | < 4.
Пример
8. Функцию f(z)
= (z2-2z+5)/((z-2)(z2+1))
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z
= 2 и в кольце 1 < | z
| < 2.
Решение. Функция f(z) имеет в точке z = 2 полюс первого порядка, поэтому можно избавиться от этой особенности умножением этой функции на z – 2. Полученную таким образом функцию g(z) = (z – 2) f(z) мы разложим в ряд Тейлора по степеням z – 2. Для разложения функции g(z) в ряд Тейлора воспользуемся формулами из предыдущего примера.
Функцию z2-2z+5 представим в виде
.
Таким образом, требуемое разложение будет иметь вид
.
Для получения разложения в ряд Лорана в кольце 1 < | z | < 2 представим функцию f(z) в виде
.
Функцию 1/(z-2) раскладываем в ряд Тейлора в круге |z| < 2.
Функцию (z+2)/(z2+1) раскладываем в ряд по степеням z в окрестности бесконечности
| ТФКП - теория и функция комплексного переменного |
|
| Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать курсовую | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции | |||
|
|
|||