ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

 

Вычисление вычетов

 

Вычетом функции f(z) в конечной изолированной особой точке a называется число

,

где C-окружность достаточно малого радиуса с центром в точке a, пробегаемая против часовой стрелки. Вычет в бесконечности (¥-изолированная особая точка) определяется по формуле

,

где C- -окружность достаточно большого радиуса, пробегаемая по часовой стрелке. Вычет функции f(z) в конечной изолированной особой точке a равен коэффициенту с-1 в разложении функции  f(z) в ряд Лорана при (z-a)-1

.

Вычет функции f(z) в изолированной особой точке ¥ равен коэффициенту -с-1 в разложении функции f(z) в ряд Лорана при z-1

.

Если у аналитической функции f(z) имеется лишь конечное чисто изолированных особых точек, то сумма вычетов в этих точках, включая вычет в¥ равна нулю.

 

Если a – полюс порядка n функции f(z), то

.

В случае полюса первого порядка формула имеет вид

.

 

Пример 1. Найти вычет функции  относительно всех изолированных особых точек (и.о.т.).

Решение. Функция имеет два полюса второго порядка в точках i и –i. В ¥ имеется устранимая особенность.

 

. Аналогично . Из формулы для суммы вычетов следует, что .

 

Пример 2. Найти вычет функции  относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥. Воспользуемся разложением экспоненты в ряд Тейлора для получения разложения исходной функции в ряд Лорана.

Разложение имеет место в кольце 0<|z|<¥. Найдем коэффициент c-1этого разложения. Для получения этого слагаемого необходимо выполнение условия k-m=-1, откуда m=k+1. Учитывая это, получим

.

 

Пример 3. Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Покажем вначале, что функции sinz и cosz в комплексной плоскости имеют нули только на вещественной оси. Действительно,

. Откуда следует, что sinz = 0 лишь в случае sinx = 0 и shy = 0. Аналогично для функции cosz имеем: .

Откуда следует, что cosz = 0 лишь в случае cosx = 0 и shy = 0. Таким образом, исходная функция имеет только полюсы второго порядка в нулях синуса, т.е. в точках pk. Так как и вычет единицы равен нулю, то вычеты можно считать для функции . Имеем

.

. Воспользовавшись первыми двумя членами разложений в ряд Тейлора функций sin и cos легко установить, что бесконечно малая sinuucosu в нуле имеет третий порядок малости.таким образом в последнем выражении числитель имеет четвертый порядок малости, в то время, как знаменатель имеет третий порядок малости, и указанный предел равен нулю. Все вычеты равны нулю.

 

Пример 4. Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥. Воспользуемся разложением синуса в ряд Тейлора для получения разложения исходной функции в ряд Лорана.

. При перемножении общий член ряда Лорана будет иметь вид . Отсюда следует, что c-1=0. вычеты в нуле и бесконечности равны нулю.

 

Пример 5. Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥. Воспользуемся разложением косинуса в ряд Тейлора для получения разложения исходной функции в ряд Лорана по степеням z-2.

 

Коэффициент c-1 будет складываться из двух значений, из первой суммы при k=2 и третьей сумма при k=1

. Вычет в¥ будет равен 143/24.

 

Пример 6. Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Функция имеет полюс второго порядка в 0, полюс первого порядка в 1 и устранимую и.о.т. в ¥.

. Отсюда следует, что

.

 

 

 

 

 

Пример 7. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z2-2z-3) в точке z = 3.

Решение.

Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:
image153 (752 bytes)

Из этого разложения находим   image154 (293 bytes)

Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс. В начало страницы

 

Пример 8. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,   image150 (219 bytes)

Решение.

Запишем   image151 (751 bytes)

т.е. z= 0 - устранимая особая точка. Следовательно,   image152 (263 bytes)

 

 

Пример 9. Вычислить вычет функции   image155 (282 bytes)

Так как   image156 (602 bytes)тоz= 0 для f(z) - полюс второго порядка. Следовательно,  
image157 (1330 bytes)

image158 (1282 bytes)

 

 

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

 

Базы VB | Классы VB | VB | Платформу клиент-сервер | ActiveX-компоненты | Базы данных | Конструктор форм | Электро | ТОЭ | Лекции физика | Рисунок | Световые волны | Pascal |

Аудиобутик.ру: самые лучшие бизнес аудиокниги в Интернете!
5320 xpressmusic
реализация грейфер отечественный производитель