Вычисление вычетов
Вычетом
функции f(z)
в конечной изолированной особой точке a
называется число
,
где
C-окружность
достаточно малого радиуса с центром в точке a,
пробегаемая против часовой стрелки. Вычет в бесконечности
(¥-изолированная
особая точка) определяется по формуле
,
где
C-
-окружность достаточно большого радиуса, пробегаемая по часовой стрелке. Вычет
функции f(z)
в конечной изолированной особой точке a
равен коэффициенту с-1 в разложении функции
f(z)
в ряд Лорана при (z-a)-1
.
Вычет
функции f(z)
в изолированной особой точке ¥
равен коэффициенту -с-1 в разложении
функции f(z)
в ряд Лорана при z-1
.
Если
у аналитической функции f(z)
имеется лишь конечное чисто изолированных особых точек, то сумма вычетов в этих
точках, включая вычет в¥
равна нулю.
Если
a
– полюс порядка n
функции f(z),
то
.
В случае полюса первого порядка формула имеет вид
.
Пример
1. Найти
вычет функции 
относительно всех изолированных
особых точек (и.о.т.).
Решение.
Функция имеет два полюса второго порядка в точках i
и –i.
В ¥
имеется устранимая особенность.
. Аналогично 
. Из формулы для суммы вычетов следует, что 
.
Пример
2. Найти
вычет функции 
относительно всех изолированных
особых точек.
Решение.
Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥.
Воспользуемся разложением экспоненты в ряд Тейлора для получения разложения исходной
функции в ряд Лорана.
Разложение
имеет место в кольце 0<|z|<¥.
Найдем коэффициент c-1этого
разложения. Для получения этого слагаемого необходимо выполнение условия k-m=-1,
откуда m=k+1.
Учитывая это, получим
.
Пример
3. Найти
вычет функций 
относительно всех изолированных особых точек.
Решение. Покажем вначале, что функции sinz и cosz в комплексной плоскости имеют нули только на вещественной оси. Действительно,
. Откуда
следует, что sinz
= 0 лишь в
случае sinx
= 0 и shy
= 0. Аналогично
для функции cosz
имеем: 
.
Откуда
следует, что cosz
= 0 лишь в
случае cosx
= 0 и shy
= 0. Таким
образом, исходная функция имеет только полюсы второго порядка в нулях синуса,
т.е. в точках pk.
Так как 
и вычет единицы равен нулю, то вычеты можно считать для функции
. Имеем
.
. Воспользовавшись первыми двумя членами разложений в ряд Тейлора
функций sin
и cos
легко установить, что бесконечно малая sinu
– ucosu
в нуле имеет третий порядок малости.таким
образом в последнем выражении числитель имеет четвертый порядок малости, в то
время, как знаменатель имеет третий порядок малости, и указанный предел равен
нулю. Все вычеты равны нулю.
Пример
4. Найти
вычет функций 
относительно всех изолированных особых точек.
Решение.
Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥.
Воспользуемся разложением синуса в ряд Тейлора для получения разложения исходной
функции в ряд Лорана.
. При перемножении общий член ряда Лорана будет иметь вид 
. Отсюда следует, что c-1=0.
вычеты в нуле и бесконечности равны нулю.
Пример
5. Найти
вычет функций 
относительно всех изолированных особых точек.
Решение.
Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥.
Воспользуемся разложением косинуса в ряд Тейлора для получения разложения исходной
функции в ряд Лорана по степеням z-2.
Коэффициент
c-1
будет складываться из двух значений, из первой суммы при k=2
и третьей сумма при k=1
. Вычет в¥
будет равен 143/24.
Пример
6. Найти
вычет функций 
относительно всех изолированных особых точек.
Решение.
Функция имеет полюс второго порядка в 0, полюс первого порядка в 1 и устранимую
и.о.т. в ¥.
. Отсюда следует, что
.
Пример
7. Вычислить вычет функции f
(z)
= (z+2)/(z2-2z-3)
в точке z = 3.
Решение.
Разложим
функцию в ряд Лорана по степеням z
- 3:
Из
этого разложения находим 
Заметим,
что здесь точка z
= 3 - простой полюс. 
Пример
8. Вычислить вычет функции f(z)
в точке z
= 0, 
Решение.
Запишем
т.е.
z= 0 - устранимая особая точка. Следовательно,
Пример
9. Вычислить вычет функции
Так
как 
тоz=
0 для f(z) -
полюс второго порядка. Следовательно,
| Свадебный фотограф Петербург - профессиональный свадебный фотограф . Профессиональная фотография. | |