Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать диплом \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

Вычисление вычетов

Вычетом функции f(z) в конечной изолированной особой точке a называется число

где C-окружность достаточно малого радиуса с центром в точке a, пробегаемая против часовой стрелки. Вычет в бесконечности (¥-изолированная особая точка) определяется по формуле

где C^- -окружность достаточно большого радиуса, пробегаемая по часовой стрелке. Вычет функции f(z) в конечной изолированной особой точке a равен коэффициенту с_-1 в разложении функции f(z) в ряд Лорана при (z-a)^-1

Вычет функции f(z) в изолированной особой точке ¥ равен коэффициенту -с_-1 в разложении функции f(z) в ряд Лорана при z^-1

Если у аналитической функции f(z) имеется лишь конечное чисто изолированных особых точек, то сумма вычетов в этих точках, включая вычет в¥ равна нулю.

Если a – полюс порядка n функции f(z), то

В случае полюса первого порядка формула имеет вид

Пример 1. Найти вычет функции относительно всех изолированных особых точек (и.о.т.).

Решение. Функция имеет два полюса второго порядка в точках i и –i. В ¥ имеется устранимая особенность.

. Аналогично . Из формулы для суммы вычетов следует, что .

Пример 2. Найти вычет функции относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥. Воспользуемся разложением экспоненты в ряд Тейлора для получения разложения исходной функции в ряд Лорана.

Разложение имеет место в кольце 0<|z|<¥. Найдем коэффициент c_-1этого разложения. Для получения этого слагаемого необходимо выполнение условия k-m=-1, откуда m=k+1. Учитывая это, получим

Пример 3. Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Покажем вначале, что функции sinz и cosz в комплексной плоскости имеют нули только на вещественной оси. Действительно,

. Откуда следует, что sinz = 0 лишь в случае sinx = 0 и shy = 0. Аналогично для функции cosz имеем: .

Откуда следует, что cosz = 0 лишь в случае cosx = 0 и shy = 0. Таким образом, исходная функция имеет только полюсы второго порядка в нулях синуса, т.е. в точках pk. Так как и вычет единицы равен нулю, то вычеты можно считать для функции . Имеем

. Воспользовавшись первыми двумя членами разложений в ряд Тейлора функций sin и cos легко установить, что бесконечно малая sinu – ucosu в нуле имеет третий порядок малости.таким образом в последнем выражении числитель имеет четвертый порядок малости, в то время, как знаменатель имеет третий порядок малости, и указанный предел равен нулю. Все вычеты равны нулю.

Пример 4. Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥. Воспользуемся разложением синуса в ряд Тейлора для получения разложения исходной функции в ряд Лорана.

. При перемножении общий член ряда Лорана будет иметь вид . Отсюда следует, что c_-1=0. вычеты в нуле и бесконечности равны нулю.

Пример 5. Найти вычет функций относительно всех изолированных особых точек.

Решение. Функция имеет две и.о.т. 0 и ¥. Воспользуемся разложением косинуса в ряд Тейлора для получения разложения исходной функции в ряд Лорана по степеням z-2.