Курс физики технического университета

На главную
Молекулярная физика
Карта сайта


Выпишем здесь еще раз систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме вместе с материальными уравнениями

Применим систему уравнений Максвелла к однородной ( ε = const, μ = const), нейтральной ( ρ = 0), непроводящей ( σ = 0) среде.

Первая пара:

Вторая пара:

Наша задача - получить волновые уравнения для векторов и , решениями которых будут уравнения электромагнитной волны

16.1. Система уравнений Максвелла для плоской электромагнитной волны

Зададим направление оси x перпендикулярно волновым поверхностям. Тогда:

От координат x и z в плоской волне и не зависят. Как известно из математики:

Учитывая, что не зависит от y и z из первого уравнения первой пары:

,

получим три скалярных уравнения:

Второе уравнение первой пары дает:

Аналогично, из второй пары уравнений Максвелла получим:



16.1.1. Поперечность электромагнитных волн

Уравнения (1) и (4), (5) и (8) утверждают, что Hx и Ex не зависят от времени и координаты x, т.е. являются однородными постоянными полями. Таким образом, переменное поле электромагнитной волны не имеет составляющей вдоль оси x, в направлении которой распространяется волна. Это значит, что электромагнитная волна поперечна, т.е. векторы и перпендикулярны направлению ее распространения.

16.1.2. Волновое уравнение

В уравнения (2) и (7) входят Ez и Hy, в уравнения (3) и (6) входят Ey и Hz. Таким образом, если первоначально было создано поле Ey, то оно породит Hz (3), которое создает Ey (6). Аналогично с Ez и Hy.

Для описания электромагнитной волны можно выбрать уравнения (2) и (7), либо уравнения (3) и (6), либо те и другие.

Получим волновое уравнение для уравнений (3) и (6):

После указанных стрелками замен имеем два волновых уравнения:



16.1.2.1. Фазовая скорость электромагнитной волны

Коэффициент при второй производной по времени, есть величина, обратная квадрату фазовой скорости волны Для электромагнитной волны фазовая скорость из волновых уравнений

В вакууме ε = &mu = 1 и

.

Тогда:

Полученное значение фазовой скорости электромагнитной волны в вакууме равно скорости света в вакууме - с. С учетом этого:



16.1.2.2. Гармонические волны - простейшие решения волновых уравнений

Легко проверить, что

являются решениями волновых уравнений. Эти решения описывают электромагнитную волну, у которой вектор направлен вдоль оси y, вектор - вдоль оси z, волна распространяется вдоль оси x, таким образом, векторы , , образуют правую тройку.

16.1.2.3. Связь между модулями векторов и электромагнитной волны и их фазами

Подставив решения (16.1.2.2.) в уравнения (3) и (6), получим из (3):

Из этих равенств следует:

1) Векторы и колеблются в одинаковой фазе.

;

2)



16.2. Пространственная структура электромагнитной волны

Для фиксированного момента времени t1 векторы и плоской гармонической электромагнитной волны могут быть изображены следующей диаграммой:



16.3. Плотность энергии электромагнитной волны



16.3.1. Вектор Пойнтинга - вектор плотности потока энергии электромагнитной волны

Из

.

Для электромагнитной волны вектор плотности потока энергии обозначают буквой   .

Из

.

Используя диаграмму величине S можно придать векторный характер:



16.3.2. Интенсивность электромагнитной волны - это среднее по времени от модуля вектора Пойнтинга



16.4. Изучение диполя

16.4.1. Диполь

- это два разноименных точечных заряда, находящихся на некотором расстоянии друг от друга



16.4.2. Электрическое и магнитное поле колеблющегося диполя

Пусть расстояние между зарядами диполя периодически изменяется с течением времени, т.е. , диполь колеблется. Тогда  .

Электрическое и магнитное поле диполя будет переменным, диполь будет излучать электромагнитные волны.

   

Точный расчет на основе уравнений Максвелла показывает, что электрическое поле в этой волне, распространяющейся в вакууме:

Направление векторов и изображено на рисунке. Угол θ - это угол между направлением дипольного момента и направлением излучения.



16.4.2.1. Электрическое поле диполя, колеблющегося по гармоническому закону

Пусть , тогда:

Для E из имеем:



16.4.2.2. Интенсивность дипольного гармонического излучения



16.4.2.3. Диаграмма направленности излучения диполя

- это графическое изображение в полярной системе координат зависимости интенсивности излучения I, (16.4.2.2), от угла θ.

На рисунке дана половина пространственного изображения диаграммы направленности. Полная диаграмма похожа на бублик без дырки.


На главную