Приведем некоторые примеры использования статистики.
В предыдущем параграфе рассмотрены возможные значения вектора изотопического спина для систем, состоящих из двух нуклонов. Так как система состоит из фермионов, то они должна описываться антисимметричной волновой функцией, которая для нуклонов теперь, зависит не только от пространственных координат и проекций спинов, но и от проекций изотопического спина. При перестановке нуклонов переставляются все эти три сорта переменных волновой функции. Волновая функция системы при такой полной перестановке может менять знак только в двух случаях:
1). Волновая функция системы антисимметрична по каждому сорту переменных. Очевидно, что нечетное число перестановок изменит знак волновой функции;
2). Волновая функция системы антисимметрична по одному сорту переменных и симметрична по двум другим. Тогда перестановка по антисимметричному сорту переменных изменит знак волновой функции, тогда как перестановка по симметричным двум другим не изменит знака. Таким образом, и в этом случае нечетное число перестановок изменяет знак волновой функции.
По координатным переменным волновая функция системы симметрична в состояниях с четным орбитальным моментом (l = 0, 2, …), которые обозначаются как s-, d-, … состояния (см. §2.3), и антисимметрична при нечетном орбитальном моменте (l = 1, 3, …), которые обозначаются как p-, f-, … состояния.
По спиновым переменным волновая функция системы симметрична в состояниях с суммарным вектором спина, равным единице (спины нуклонов параллельны), и антисимметрична в состояниях с суммарным спином, равным нулю (спины нуклонов антипараллельны).
Так как в s- и d- состояниях волновая функция системы из двух нуклонов симметрична, то она должна обладать противоположными свойствами симметрии для суммарных значений спина и изотопического спина: если спин равен единице, то изотопический спин должен быть равен нулю, и наоборот. Напротив, в p- и f- состояниях спин и изотопический спин должны иметь одинаковые значения – либо нуль, либо единицу.
Рассмотрим возможные состояния дейтона 2Н. Спин I дейтона равен единице (см. §1.9 п.4) и орбитальный момент l должен быть равен либо нулю, либо двойке, чтобы спин ядра 2Н был равен единице:
|
I
= l + Sn
+ Sp
= |
(1.11.2) |
.Такой же результат получается из закона сохранения четности. Четность дейтона в основном состоянии положительна и равна (-1)l (см. (1.8.9)).Тем самым, в основном состоянии дейтон не может иметь орбитальный момент l = 1, а должен находиться в s- или d- состояниях с l = 0 или 2.
Таким образом, волновая функция дейтона симметрична по величине спина I = 1 и величине орбитального момента l = 0, 2. Поэтому для дейтона, единственного связанного состояния системы (n-p), изотопический спин Т должен быть равен нулю. Остальные три системы (n-n), (p-p) и (n-p), как показано в предыдущем параграфе, имеют изотопический спин Т, равный единице, из чего следует равенство нулю суммарного спина I системы и величины орбитального момента l. Следовательно, эти три системы тождественны относительно ядерного взаимодействия. В таблице 1.11.1 приведены возможные состояния системы из двух нуклонов в s-состоянии.
Из экспериментального факта существования единственного связанного состояния системы (n-p) – дейтона с параллельными спинами нейтрона и протона (см. §1.9 п.4) и отсутствием связанного состояния системы (n-p) с антипараллельными спинами следует вывод о невозможности связанных состояний систем (n-n) и (p-p) – бинейтронаи бипротона. Попытки экспериментально обнаружить эти системы в связанном состоянии не увенчались успехом до настоящего времени.