.

Базовый общетехнический курс по электротехнике

 

Теорема об активном двухполюснике для симметричных составляющих

В тех случаях, когда трехфазная цепь в целом симметрична, а несимметрия носит локальный характер (местное короткое замыкание или обрыв фазы, подключение несимметричной нагрузки), для расчета удобно применять теорему об активном двухполюснике.

При мысленном устранении несимметрии (несимметричного участка) для оставшейся цепи имеет место симметричный режим холостого хода. В соответствии с методом эквивалентного генератора теперь необходимо определить эквивалентные ЭДС и входные сопротивления симметричной цепи. В общем случае – при несимметрии в системе фазных напряжений источника – помимо эквивалентной ЭДС прямой последовательности будут также иметь место эквивалентные ЭДС обратной и нулевой последовательностей. Однако обычно напряжения генераторов симметричны – тогда . Величина , соответствующая напряжению холостого хода на зажимах подключения локальной несимметрии, определяется при отключении локальной несимметричной нагрузки любым известным методом расчета линейных цепей, причем в силу симметрии цепи расчет проводится для одной фазы.

В отдельности рассчитываются входные сопротивления симметричной цепи для различных последовательностей, которая предварительно преобразуется известными методами в пассивную цепь. При этом при расчете входного сопротивления нулевой последовательности необходимо учитывать только те участки цепи, которые соединены с нейтральным проводом или заземленной нейтральной точкой, т.е. принимать во внимание только те ветви, по которым могут протекать токи нулевой последовательности. Схемы для расчета входных сопротивлений прямой и обратной последовательностей одинаковы, однако в случае вращающихся машин величины этих сопротивлений различны.

Поскольку в отдельности для каждой симметричной последовательности имеет место симметричный режим, расчет указанным методом ведется на одну фазу с использованием расчетных схем для прямой (рис. 1,а), обратной (рис. 1,б) и нулевой (рис. 1,в) последовательностей.

Данным схемам соответствуют соотношения

(1)
(2)
(3)

Поскольку соотношений три, а число входящих в них неизвестных шесть , необходимо составление трех дополнительных уравнений, учитывающих конкретный вид несимметрии.

Рассмотрим некоторые типовые примеры применения метода

Однополюсное короткое замыкание на землю (рис. 2).

.

Поскольку фаза А замкнута на землю, то дополнительные уравнения имеют вид


  ;(4)

;

.

Тогда

С учетом последних соотношений уравнения (1)…(3) можно записать в виде

(5)
(6)
(7)

Принимая во внимание (4), а также то, что источник питания симметричный , просуммируем (5), (6) и (7):

,

откуда получаем

 

Двухполюсное короткое замыкание без земли (рис. 3).

Для рассматриваемого случая можно записать

Последнее равенство объясняется отсутствием пути для протекания токов нулевой последовательности.

Из двух последних соотношений вытекает, что . При этом , так как и .

Подставив полученные выражения для напряжений и токов прямой и обратной последовательностей в (1) и (2), запишем

(8)
(9)

Вычитая из (8) соотношение (9) и учитывая, что в силу симметрии источника , получим

,

откуда

.

Обрыв линейного провода (рис. 4) – определить напряжение в месте разрыва.

В рассматриваемом случае дополнительные уравнения имеют вид


(10)
(11)
(12)

Из соотношений (11) и (12) вытекает равенство:

(13)

На основании (1)…(3) с учетом (13) запишем

.

Принимая во внимание симметричность источника , подставим последние выражения в (10):

,

- откуда

.

Таким образом, искомое напряжение

.

Подключение несимметричной нагрузки к симметричной цепи (рис. 5).

Учитывая, что , подставим в уравнения (1)…(3) определенные в предыдущей лекции выражения и (см. соотношение (12) в лекции №19):

Решая данную систему уравнений, находим и . Тогда

и .

В рассмотренных примерах предполагалось, что необходимые для анализа цепи параметры и предварительно определены. Рассмотрим их расчет на примере предыдущей задачи для некоторой схемы на рис. 6.

Поскольку при отключении несимметричной нагрузки оставшаяся часть схемы будет работать в симметричном режиме, для определения получаем расчетную однофазную схему на рис. 7.

Из нее

.

Схема для определения входных сопротивлений прямой и обратной последовательностей одна и та же и соответствует цепи на рис. 8,а. В соответствии с ней

.

Схема для определения , полученная с учетом возможных путей протекания токов нулевой последовательности, приведена на рис. 8,б. Из нее

.

 

Выражение мощности через симметричные составляющие

Комплекс полной мощности в трехфазной цепи

(14)

Для фазных напряжений имеем

  (15)

Учитывая, что комплекс, сопряженный , равен и наоборот, для сопряженных комплексов токов запишем:

(16)

Подставляя (15) и (16) в (14), после соответствующих преобразований получим

.

Отсюда

и

,

где - разности фаз соответствующих симметричных составляющих напряжений и токов.

 

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. В каких случаях целесообразно применение теоремы об активном двухполюснике для симмметричных составляющих?
  2. Как рассчитываются эквивалентные параметры симметричной цепи, к которой подключается локальная несимметричная нагрузка?
  3. В чем заключаются особенности расчета входного сопротивления нулевой последовательности?
  4. Какова последовательность анализа трехфазной цепи с использованием теоремы об активном двухполюснике для симметричных составляющих?
  5. Определить напряжения и в цепи на рис. 3, если фазная ЭДС , а сопротивления прямой и обратной последовательностей равны: .
  6. Ответ: .

  7. Фазы А и С симметричного трехфазного источника замкнуты накоротко. Определить ток короткого замыкания, если , а сопротивления прямой и обратной последовательностей .
  8. Ответ: .


На главную