Вычисление площадей Вычисление объема тела

Двойка? Нет!
Графика
	Начертательная геометрия
	Практикум по решению задач
	Конспект лекций черчение
	Геометрическое черчение
	История искусств
	Тени Компьютерная графика
	Искусство Древней Греции
	Первобытное искусство
	Культура Древней Азии
	Компьютерная анимация
	Статуи фараона Египет
	История Древнего Рима
	Византия Константинополь
	Средневековая Западная Европа
	Белокаменное зодчество Руси
	Рисунок композиция
	Перспектива
	ЕСКД - констр. документация
	Инженерная графика
Математика
	Элементарная математика
	Кратные интегралы
	Математический анализ
	Векторный анализ
	Аналитическая геометрия
	Производная и диф. уравнения
	Математика 2 курс
	Лекции, конспекты
	Функции и их графики
	Математический анализ
	Комплексные числа
	ТФКП
Физика
	Физические законы механики
	Электричество. Магнетизм
	Колебания. Волны
	Ядерная физика Лекции
	Атомная и ядерная физика
	Электричество, электростатика
	Магнетизм, индукция
	Оптика волновая квантовая
	Основы физики и ТОЭ
	Молекулярная физика
Информатика
	Архитектура ЭВМ
	Пролог програмирование
	Лекции Пролог
	Учебник PHP
	Информационные технологии
	Web технологии
	Интернет
	Web безопасность
	GPRS
	Компьютерные сети
	Локальные сети
	Система доменных имен
	Основы вычислит. систем
	Вычислительные комплексы
	Операционные системы
	Windows 2000
	Windows server 2003
	Java учебник
	Примеры Java
	Базы данных
	Язык PHP
	Функции PHP A-C D-F G-I J-M N-O P-R S-T U-Z
	TurboPascal
ТКМ
Электротех. материалы
Лекции ТКМ
Электротехника
	Общая электротехника
	Электротехника
	ТОЭ Законы Кюрхгофа
	Электротехника конспекты
	ТОЭ
Атомная энергетика
	Реактор РБМК
	Реактор ВВЭР
	Реактор БН-600
	Атомные станции
	Юбилей Энергетики
	Ядерное оружие
Готовые работы
	Оформить заказ
	Дипломные, курсовые
	Купить контрольную
	Контрольные, расчетные
	Рефераты
	Лабораторные работы
	Курсовые расчеты

 

Вычисление площадей в декартовых координатах

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми х=0, х=2 и кривыми у=2х , у=2х–х2 

Пример 2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами х = –2у2, х=1–3у2 

Пример 3. Найти площадь фигуры, заключенной между параболой х2=4у и локоном Аньези : .

Пример 1.4. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внутри круга и ограниченной параболами  и    

Пример 1.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями   и осью Ох.

Пример 1.6. Найти площадь сегмента, отсекаемого от кривой  хордой .

Пример 1.7. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой   и прямой .

Пример 1.8. Вычислить площадь петли кривой .

Пример 1.9. Найти площадь между параболой , касательной к ней в точке М(2,–5) и осью ординат.

Пример1.10. Найти площади фигур, ограниченных окружностью   и параболой  

 

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура) 

  Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями  ,  ,то площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул

:;  ;  где   и  - значения параметра , соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при ко-тором фигура остается слева).

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эл-липсом ,   

Пример 2.Найти площадь астроиды

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной  одной аркой циклоиды ,   и осью .

Пример 4. Вычислить площадь фигуры,  ограниченной кривой , .

Пример 5. Найти площадь петли кривой:  ; 

Пример 6. Вычислить площадь, содержа­щуюся  внутри кардиоиды:   ;  

Тоновый рисунок Изостудия

 

Площадь в полярных координатах

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой   и лучами  и , выражается интегралом  

Пример 1. Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и .             

Пример 2. Найти площадь фигуры, лежащей  вне круга  и огра­ниченной  кривой .             

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями   и .       

  Пример 4 . Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью   из кардиоиды  (рис.3.4).

Пример 5. Найти площадь петли  декартова листа .        

 

Вычисление объема тела

Объем тела выражается интегралом .где  - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке с абсциссой х , а н b - левая и правая границы изменения х. Функция S(x) предполагается известной и непрерывно меняющейся при изменении х от a до b.Объем   тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми  и , выражается интеграломОбъем  тела  образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми   и  и прямыми ,  выра­жается интегралом .Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменной в указанных формулах.

Пример 1. Определить объем эллипсоида 

Пример 2. Оси двух одинаковых цилиндров с радиусами основания равными   , пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть этих двух цилиндров.

Пример 3. На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h. Плоскос­ти сегментов перпендикулярны к плоскости круга.

Пример 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной осями координат

Пример 5. Фигура, ограниченная дугой синусоиды , осью ординат и прямой , вращается вокруг оси Оу  . Определить объем V получающегося тела вращения.

Пример 6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой  и прямой 

Пример 7. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами  и .

Пример 8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой   фигуры, ограниченной параболой   и прямой  

Пример 9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной астроидой: ;

Пример 10. Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси. 

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах 

Если плоская кривая задана уравнением  и производная  непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом:.где а и b — абсциссы концов данной дуги. 

Пример 1. Вычислить длину дуги полукубической параболы заключенной между точками (0, 0) и (4, 8) 

Пример 2. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами , . 

Пример 3. Вычислить длину дуги кривой , заключен­ной между точками с ординатами  и .

 Пример 4. Вычислить длину дуги астроиды . 

Пример 5. Вычислить длину дуги кривой ОАВСО, состоящей из участков кривых  и  

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически 

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме ,  и производные ,   непрерывны на отрезке [,  ] , то длина дуги кривой выражается интегралом.где  и — значения параметра , соответствующие концам дуги (<). 

Пример 1. Вычислить длину дуги развертки круга ,  от  до . 

Пример 2. Вычислить длину астроиды:, .

 Пример 3.Вычислить длину дуги эллипса . 

 

Высшая математика на fismat.ru

Введение

1. Функции и их графики
   • Основные обозначения и определения
   • Первый способ задания функции: табличный
   • Второй способ задания функции: с помощью формулы
   • Обзор некоторых элементарных функций
   • Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления
   • Композиция функций
   • Обратная функция
   • Упражнения
   
   
2. Пределы
   • Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
   • Общее определение предела
   • Замена переменного и преобразование базы при такой замене
   • Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
   • Общие свойства пределов
   • Первый и второй замечательные пределы
   • Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
   • Использование непрерывности функций при вычислении пределов
   • Сравнение бесконечно малых
   • Таблица эквивалентных бесконечно малых при
   • Упражнения на вычисление пределов
   
   
3. Непрерывность функций и точки разрыва
   • Определение непрерывности функции
   • Определение точек разрыва
   • Свойства функций, непрерывных в точке
   • Непрерывность функции на интервале и на отрезке
   • Равномерная непрерывность
   • Непрерывность обратной функции
   • Гиперболические функции и ареа-функции
   • Примеры и упражнения
   
   
4. Производные и дифференциалы
   • Мгновенная скорость при прямолинейном движении
   • Касательная к кривой на плоскости
   • Производная
   • Свойства производных
   • Производные некоторых элементарных функций
   • Дифференциал
   • Производная композиции
   • Инвариантность дифференциала
   • Производная обратной функции
   • Производные некоторых элементарных функций (продолжение)
   • Сводка основных результатов о производных
   • Производные высших порядков
   • Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
   • Производные функции, заданной параметрически
   • Производная функции, заданной неявно
   • Приближённое вычисление производных
   • Примеры и упражнения
   
   
5. Свойства дифференцируемых функций
   • Четыре теоремы о дифференцируемых функциях
   • Правило Лопиталя
   • Сравнение бесконечно больших величин
   
   
6. Формула Тейлора
   • Многочлен Тейлора
   • Остаток в формуле Тейлора и его оценка
   • Формула Тейлора для некоторых элементарных функций
   • Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования
   • Упражнения
   
   
7. Исследование функций и построение графиков
   • Асимптоты графика функции
   • Возрастание и убывание функции
   • Экстремум функции и необходимое условие экстремума
   • Достаточные условия локального экстремума
   • Выпуклость функции
   • Общая схема исследования функции и построения её графика
   • Примеры исследования функций и построения графиков
   • Упражнения и задачи
   
   
8. Кривизна плоской кривой
   • Кривизна графика функции
   • Вершины кривых
   • Радиус кривизны
   • Упражнения
   
   
9. Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума
   • Отделение корней
   • Метод простого перебора
   • Метод половинного деления
   • Метод простых итераций
   • Метод секущих
   • Метод одной касательной
   • Метод Ньютона (метод касательных)
   • Метод хорд (метод линейной интерполяции)
   • Приближённое нахождение точки экстремума
   • Метод простого перебора
   • Метод почти половинного деления
   • Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
   • Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной
   • Упражнения
   
   
10. Векторная алгебра
    • Определение вектора
    • Операции над векторами
    • Разложение вектора по базису
    • Линейная зависимость векторов
    • Система координат и координаты вектора
    • Проекции вектора
    • Скалярное произведение
    • Векторное произведение
    • Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
    • Смешанное произведение
    • Нахождение координат вектора в произвольном базисе
    
    
11. Прямые линии и плоскости
    • Уравнение поверхности
    • Уравнение плоскости
    • Изображение плоскости
      • Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля
      • Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю
      • Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю
      • Два коэффициента при переменных равны нулю
      
      
    • Угол между плоскостями
    • Расстояние от точки до плоскости
    • Прямая на плоскости
    • Прямая в пространстве
    • Основные задачи на прямую и плоскость
    
    
12. Кривые второго порядка
    • Окружность
    • Эллипс
    • Гипербола
    • Парабола
    • Параллельный перенос системы координат
    
    
13. Вычисление площадей в декартовых координатах
14. Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы
15. Вычислении площадей в полярных координатах
16. Вычисление обьема тела
17. Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически
18. 
    
19. Системы линейных уравнений
    • Правило Крамера
    • Существование решения системы линейных уравнений общего вида
    • Однородная система уравнений
    • Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
    • Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)
    
    
20. Алгебраические структуры
    • Группы
    • Кольца
    • Поля
    
    
21. Комплексные числа
    • Построение поля комплексных чисел
    • Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
    • Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
    • Тригонометрическая форма комплексного числа
    • Показательная форма комплексного числа
    • Извлечение корня из комплексного числа
    • Корни многочленов
    
    
22. Многомерные пространства
    • Линейные пространства
      • Определение и примеры
      • Базис и размерность пространства
      • Координаты векторов
      • Изменение координат вектора при изменении базиса
      
      
    • Евклидово пространство
    • Аффинное -мерное пространство
    
    
23. Линейные преобразования
    • Определение и примеры
    • Матрица линейного преобразования
    • Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
    • Собственные числа и собственные векторы
    • Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
    • Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
    • Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду
    
    
24. Библиографический список

 

Физика на Физмат.ру

Механика

Термодинамика

Электростатика

Постоянный ток

Электромагнетизм

Оптика

Физика атома

Физика ядра

Радиоактивность