Примеры курсового расчета Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Асимптоты графика функции

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Тройные интегралы в сферических координатах

Пример Вычислить интеграл xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x2 + y2 + z2R2, расположенную в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Решение. Перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену переменных: Новые переменные будут изменяться в пределах: Тогда интеграл в сферических координатах равен

Основные методы интегрирования.

Способ подстановки (замены переменных).

  Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

 Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана


На главную сайта Dvoika.net