[an error occurred while processing this directive]

Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Теорема Коши

Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.

Теорема 20.1 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x)  непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причём производная  отлична от нуля во всех внутренних точках отрезка [a;b]. Тогда внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что справедлива формула

 

Последнюю формулу называют формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.

Доказательство. Убедимся сначала в том, что знаменатель левой части формулы Коши не равен нулю (так как в противном случае это выражение не имело бы смысла). В самом деле, если бы было , то для функции  были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и, следовательно, внутри отрезка [a;b] нашлась бы такая точка c, что , а это равенство противоречит условию теоремы. Рассмотрим теперь вспомогательную функцию .

Функция   удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке  [a;b] (поскольку непрерывны  и   ) и во всех внутренних точках отрезка [a;b] имеет производную, равную

 .

Кроме того, очевидно, что . Таким образом, как следует из теоремы Ролля, внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что , то есть

 , или

 .

Разделив это равенство на  (в данном случае это возможно, та как ), получим требуемое равенство.

Теорема доказана.


[an error occurred while processing this directive]