Математика лекции и примеры Функции и их графики

Основные обозначения и определения

Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
означает множество натуральных чисел ;
означает множество всех целых чисел ;
означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
, , и , где , , соответственно,-- замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка-- что не включается;
, , и , где , -- замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки);
-- числовая прямая, то же, что и ;
-- пересечение (общая часть) множеств и ;
-- объединение множеств и (все точки из и все точки из );
-- множество тех элементов из , которые не принадлежат ;
-- включение в (-- это часть );
-- принадлежность элемента множеству ( принадлежит );
-- элемент не принадлежит множеству ;
-- множество, состоящее из элементов ; в частности, -- множество из одного элемента ;
-- множество всех тех элементов из , для которых выполняется свойство .

• пример a
• пример b
• пример c
• пример d
• пример e
• Александр Бенуа - Иллюстрации к поэме А. С. Пушкина «Медный всадник»Лев Бакст «Одалиска» и «Танец семи покрывал»Евгений Лансере «Петербург начала XVIII века»Константин Сомов «Осмеянный поцелуй»
  «Дама в голубом» Ностальгическое восхищение прошлым Сомову удалось особенно тонко выразить через женские образы. Знаменитая работа «Дама в голубом» (1897—1900 гг.) — портрет современницы мастера художницы Е М. Мартыновой.

Первый способ задания функции: табличный

пример

Второй способ задания функции: с помощью формулы

• пример a
• пример b

Функциональные и степенные ряды, сходимость ряда

Обзор некоторых элементарных функций

• Линейная функция
• Квадратичная функция
• Степенная функция
• Многочлен
• Показательная функция (экспонента)
• Логарифмическая функция
• Функция синус косинус тангенс
• Функция котангенс
• Обратные тригонометрические функции
• Арифметическая прогрессия

Сборник задач с решениями по физике, математике. Лекции

Другие главы электронного учебника "Математика в примерах и задачах"

Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения высших порядков

Ряды Способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования функциональные и степенные Ряды Тейлора и Лорана Критерий и признаки Коши и Даламбера

Интегралы примеры решения задач определения Формула Остроградского – Грина

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Во многих случаях функцию приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся.

Высшая математика билеты к экзамену

Композиция функций

Если даны два отображения и , где , то имеет смысл "сквозное отображение" из в , заданное формулой , , которое называется композицией функций и и обозначается .

Обратная функция

Если -- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого однозначно определен такой элемент , что . Тем самым однозначно определено соответствие , называемое обратной функцией по отношению к функции . Обратная функция для обозначается .

Примеры и упражнения

Упражнения

Упражнение 1.6 Пусть , , , . Тогда определены композиции и . Докажите, что при имеет место равенство . Выясните также, чему равна функция и каков её график.

 

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина , зависящая от переменного . Предположим, что это переменное можно менять так, что выполняется некоторое условие : переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу . Если это так, то это "что-то" называется пределом величины при данном условии для и обозначается

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Производные и дифференцирование функции Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная функции в точке , правая производная и левая производная задаются, соответственно, формулами

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена .

Исследование функций и построение графиков Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Приближённое нахождение корней уравнений

     Определение Пусть кривая задана как график функции и  -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , так что при из этой окрестности к графику можно проводить касательные, составляющие угол с осью .

Кривизной кривой в точке (или при ) называется число

Векторная алгебра В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Линия и плоскость в пространстве Определения и примеры Определение Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности , этому уравнению не удовлетворяют.

Кривые и поверхности второго порядка Определение  Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

Определение, обозначения и типы матриц

Определение Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.      

Линейные пространства уравнения      Определение 15.1   Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Комплексные числа  Определение   Числа вида , где и  -- вещественные числа, называются комплексными числами.    

Свойства дифференцируемых функций В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.