Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Курс лекций математического анализа

Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.

Предложение 10.27 Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком "$ +$ ", если векторы образуют правую тройку, и со знаком "$ -$ ", если-- левую. Подготовка к экзамену Математика лекции примеры решения задач

Доказательство. Пусть $ {\bf d}={\bf b}\times {\bf c}$ . По предложению 10.22$ \vert{\bf d}\vert$ равен площади $ S$ параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).




Рис.10.26.Правая тройка
ОДУ высших порядков. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Рис.10.27.Левая тройка


По свойству 7 скалярного произведения (теорема 10.2)

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\bf a}{\bf d}={\bf d}{\bf a}=\vert{\bf d}\vert Пр_{{\bf d}}{\bf a}.$(10.7)


Пусть $ h$ -- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c-- правая тройка векторов, то $ { Пр_{{\bf d}}{\bf a}=h}$ (рис. 10.26), если a,b,c-- левая тройка, то $ { Пр_{{\bf d}}{\bf a}=-h}$ . Так как $ {S\cdot h=V}$ -- объем параллелепипеда, то из формулы(10.7) получим $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=V}$ в случае правой тройки и $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=-V}$ в случае левой тройки сомножителей.

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.

Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf c}{\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf c}{\bf a}=-{\bf b}{\bf a}{\bf c}=-{\bf c}{\bf b}{\bf a}=-{\bf a}{\bf c}{\bf b}.$(10.8)

 

Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)