Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Предложение 10.28 Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов (свойства 2,3 теорема 10.2), векторного произведения (предложения 10.20,10.21), в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования. Примеры решения задач Математика лекции

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1) $ {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ ;

2) $ {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}={\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}$ .

Доказательство предложения 10.28. Соотношения $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}{\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ и $ {({\bf a}_1+{\bf a}_2){\bf b}{\bf c}= {\bf a}_1{\bf b}{\bf c}+{\bf a}_2{\bf b}{\bf c}}$ следуют из того, что abc является скалярным произведением a на $ {\bf b}\times {\bf c}$ и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3, теорема 10.2).

Для второго аргумента: в силу равенства(10.8) выполнено $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf b}{\bf c}{\bf a}}$ , поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}=({\lambda}{\bf b}){\bf c}{\bf a}={\lambda}({\bf b}{\bf c}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c}),$

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}=({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}{... ...f a}+{\bf b}_2{\bf c}{\bf a}= {\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}.$

Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.

Теперь подготовлен аппарат для доказательства предложения 10.21. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Доказательство предложения 10.21. Выберем в пространстве правый ортонормированный базис i,j,k. Пусть $ {{\bf d}={\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})}$ , $ {{\bf d}=({\alpha};{\beta};{\gamma})}$ , $ {{\bf d}_1={\bf a}\times {\bf b}}$ , $ {{\bf d}_1=({\alpha}_1;{\beta}_1;{\gamma}_1)}$ , $ {{\bf d}_2={\bf a}\times {\bf c}}$ , $ {{\bf d}_2=({\alpha}_2;{\beta}_2;{\gamma}_2)}$ . Нам нужно доказать, что $ {{\bf d}={\bf d}_1+{\bf d}_2}$ , то есть что выполняются равенства: $ {{\alpha}={\alpha}_1+{\alpha}_2}$ , $ {{\beta}={\beta}_1+{\beta}_2}$ , $ {{\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2}$ .

В силу предложения 10.16

$\displaystyle {\alpha}= Пр_{\bf i}{\bf d}=\frac {{\bf i}{\bf d}}{\vert{\bf i}\v... ... d}={\bf i}({\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c}))= {\bf i}{\bf a}({\bf b}+{\bf c}).$

По свойству линейности смешанного произведения

$\displaystyle {\alpha}={\bf i}{\bf a}{\bf b}+{\bf i}{\bf a}{\bf c}= {\bf i}{\bf d}_1+{\bf i}{\bf d}_2={\alpha}_1+{\alpha}_2.$

Аналогично доказываются равенства $ {\beta}={\beta}_1+{\beta}_2$ , $ {\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2$ .

Предложение 10.29 Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторыa,b,c, равен $ \frac 16\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ .

Доказательство. Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28).




Рис.10.28.Объем пирамиды


Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $ {V=S_{ABDC}\cdot h}$ , а объем пирамиды-- $ {V_{пир}=\frac 13 S_{\triangle ABC}\cdot h}$ . Так как $ {S_{\triangle ABC}=\frac 12 S_{ABDC}}$ , то $ {V_{пир}=\frac 16 V}$ .

По предложению 10.27 получим, что $ V=\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ , а $ {V_{пир}=\frac 16 \vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert}$ .

Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.

Предложение 10.30 Пусть в правом ортонормированном базисеi,j,kзаданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1;{\alpha}_2;{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1;{\beta}_2;{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1;{\gamma}_2;{\gamma}_3)}$ . Тогда
$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\a... ...&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert.$(10.9)

Доказательство. По предложению 10.25 находим координаты вектора $ {\bf b}\times {\bf c}$ :

$\displaystyle {\bf b}\times {\bf c}=\left(\left\vert\begin{array}{cc} {\beta}_2... ...}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert\right).$

По теореме 10.3 находим скалярное произведение вектора a на вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ :

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\alpha}_1 \left\vert\begin{... ...n{array}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert.$

Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя $ \left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha}_3\\ {\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert$ . По определению $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})}$ , формула(10.9) доказана.

Предложения 10.26 и10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой (предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора.

Пример 10.3 Является ли система векторов $ {\bf a}=(1;1;-2)$ , $ {\bf b}=(4;-1;3)$ , $ {{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?
Находим
$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 4&-1&... ...}\right\vert- 2\left\vert\begin{array}{rr} 4&-1\\ 6&1\end{array}\right\vert=0.$
По предложению 10.26 векторы a,b,c компланарны и по предложению 10.10 линейно зависимы.

 

 

Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)