Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Упражнение 1.6 Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.

Упражнение 1.7 Вспомните материал школьного курса математики и постройте графики следующих функций. Найдите области определения и области значений этих функций.
а) $ f(x)=\sin 2x$;
Лекции матан Математика лекции примеры решения задач
б) $ f(x)=\cos x+3$;

в) $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2})$; Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

г) $ f(x)=x^2+4x+5$;

д) $ f(x)=x^3+1$;

е) $ f(x)=\sqrt[5]{x}$;

ж) $ f(x)=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$;

з) $ f(x)=\arccos x-\frac{\pi}{2}$;

и) $ f(x)=3^{x-2}$;

к) $ f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$;

л) $ f(x)=\log_2(x-1)$;

м) $ f(x)=2^{3x-1}$;

н) $ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$.

Ответы:
а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;
б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\;\mathcal{E}(f)=[2;4]$;
в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\pi+2k\pi\},\;\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[1;+\infty)$;
д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
ж) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[0;\pi]$;
з) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;
и) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;
к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\}$;
л) $ \mathcal{D}(f)=(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
м) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;
н) $ \mathcal{D}(f)=(-1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$.

Упражнение 1.8 Найдите области определения и области значений следующих функций:
а) $ f(x)=-x^2+6x-5$;
б) $ f(x)=\cos2x+3\sin2x$;
в) $ f(x)=\dfrac{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}$;
г) $ f(x)=\dfrac{1-\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}$;
д) $ f(x)=x+\dfrac{1}{x}$;
е) $ f(x)=\sin(\arcsin x)$;
ж) $ f(x)=\arcsin(\sin x)$;
з) $ f(x)=2^{\log_2x}$;
и) $ f(x)=(\sqrt{x})^2$;
к) $ f(x)=\sqrt{x^2}$;
л) $ f(x)=\sqrt{-x^2}$;
м) $ f(x)=\sqrt{4-x^2}$.
Какие из этих функций из области $ \mathcal{D}(f)$ в область $ \mathcal{E}(f)$ являются биекциями? Метод вариации постоянных. Для этого можно использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения ищется в виде Курс лекций математического анализа
Ответы:
Биекциями являются функции пп. е), з), и), л), пpичём все эти четыpе функции-- тождественные отобpажения:
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathcal{E}(f); f=f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits : \mathcal{D}(f)\to\mathcal{D}(f)$
пpи соответствующих областях $ \mathcal{D}(f)$. Все остальные функции-- не биекции.
а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;4)$;
б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\sqrt{10};\sqrt{10}]$;
в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ (заметим, что $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits 2x$ пpи $ x\in\mathcal{D}(f)$.
г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{k\pi}{2}\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$;
е) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;
ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;
з) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;
и) $ \mathcal{D}(f)=[0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;
к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;
л) $ \mathcal{D}(f)=\{0\},\; \mathcal{E}(f)=\{0\}$;
м) $ \mathcal{D}(f)=[-2;2],\; \mathcal{E}(f)=[0;2]$.

Упражнение 1.9 Постройте графики функций:
а) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x,&\mbox{ при }x<0,\\ -x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}

б) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt[3]{x},&\mbox{ при }x<0,\\ x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}

в) $ f(x)=\ln\vert x\vert$;

г) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x+1\vert,&\mbox{... ...1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0,\ x\ne1; \end{array} \right.\end{displaymath}

д) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x-1\vert,&\mbox{... ...\vert x+1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}

е) $ f(x)=\max\limits_{z\in[x-1;x+1]}(z^3-3z)$;

ж) $ f(x)=\log_{\vert x\vert}\dfrac{1}{2}$;

з) $ f(x)=\log_{\frac{1}{x}}x$; p class=pic>

и) $ f(x)=2^{\vert\log_2x\vert+1}$.
Найдите области опpеделения и области значений этих функций. Какие из этих функций $ f: \mathcal{D}(f)\to\mathcal{E}(f)$ являются биекциями? Если $ f$-- биекция, найдите обратную функцию $ f^{-1}$ и постройте её график.
Ответы:
Биекцией является только функция п.б), пpи этом $ f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3,&\mbox{ пpи }x<0;\\ \sqrt[3]{x},&\mbox{ пpи }x\geqslant 0. \end{array}\right.$
а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;0]$;
б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;
е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;
ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$;
з) $ \mathcal{D}(f)=(0;1)\cup(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\{1\}$;
и) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[2;+\infty)$.

Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка.

Учебники по высшей математике Примеры решения задач Комплексные числа Построение поля Типовой расчет (задания из Кузнецова)